Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

7. fejezet - A FÉNY TERJEDÉSE

7. fejezet - A FÉNY TERJEDÉSE

53 §. Geometrikai optika

A síkhullámra az jellemző, hogy terjedési iránya és amplitúdója mindenütt ugyanaz. Tetszőleges elektromágneses hullámra ez természetesen nem áll fenn.

Gyakran előfordul azonban, hogy egy elektromágneses hullám a tér bármely kis tartományában síkhullámnak tekinthető. Ehhez az szükséges, hogy a hullám amplitúdója és terjedési iránya kevéssé változzék a hullámhosszal összemérhető távolságokon.

Ha ez a feltétel teljesül, akkor bevezethetjük a hullámfelületeket, amelyeknek minden pontjában megegyezik a hullám fázisa egy adott időpillanatban (síkhullám esetén ezek a terjedési irányra merőleges síkok). A tér bármely kis tartományában beszélhetünk a hullám terjedési irányáról, amely merőleges a hullámfelületre. Bevezethetjük a sugár fogalmát is: ez egy olyan vonal, amelynek bármely pontjához húzott érintője a hullám terjedési irányába mutat.

Az ilyen hullámok terjedési törvényeinek vizsgálata a geometriai optika tárgyát képezi. A geometriai optika tehát az elektromágneses hullámok – többek között a fény – terjedését hullámtulajdonságaiktól teljesen elvonatkoztatva szemléli, és mint sugarak terjedését írja le. Más szóval, a geometriai optika a kis hullámhosszak (λ→0) határesetének felel meg.

Vezessük most le a sugarak terjedési irányát meghatározó alapegyenletet. Legyen f a hullámmezőt leíró valamilyen mennyiség (E vagy H bármelyik komponense). Monokromatikus síkhullámban f a következő alakba írható:

7.1. egyenlet - (53.1)

f = a e i ( k r ω t + α ) = a exp [ i ( k i x i + α ) ] .

(A ℜ jelet elhagyjuk; komplex kifejezéseknél mindig azok valós részét fogjuk fizikai jelentéssel felruházni.)

A fenti kifejezést írjuk az

7.2. egyenlet - (53.2)

f = a e i ψ

alakba. Ha a hullám nem síkhullám, de a geometriai optika alkalmazható, az a amplitúdó általában a koordináták és az idő függvénye, a ψ fázis pedig, amelyet eikonálnak is neveznek, nem olyan egyszerű alakú, mint (53.1)-ben. Lényeges azonban, hogy az eikonál értéke nagy. Ez már abból is látható, hogy 2π-vel változik egy hullámhossznyi távolságon, a geometriai optika pedig a λ→0 határesetnek felel meg.

Kis tér- és időbeli tartományokra az eikonált sorba fejthetjük; az elsőrendű tagokig bezárólag:

ψ = ψ 0 + r ψ r + t ψ t

(a koordináta-rendszer kezdőpontját és a t=0 időpillanatot az adott tér- és időtartományban vesszük fel; a deriváltak az origóhoz tartoznak). Ezt a kifejezést (53.1)-gyel összehasonlítva, felírhatjuk, hogy

7.3. egyenlet - (53.3)

k = ψ r grad ψ , ω = ψ t ,

ami megfelel annak, hogy a tér bármely kis tartományában (és kis időintervallumokra) a hullámot síkhullámnak tekinthetjük. Négydimenziós alakban az (53.3) összefüggéseket a

7.4. egyenlet - (53.4)

k i = ψ x i ,

egyenlőségben foglalhatjuk össze, ahol ki a négydimenziós hullámvektor.

48. §-ban láttuk, hogy a ki vektor komponensei eleget tesznek a kiki=0 feltételnek. Ide (53.4)-et behelyettesítve, a

7.5. egyenlet - (53.5)

ψ x i ψ x i = 0

egyenlethez jutunk. Ez az ún. eikonál-egyenlet, amely a geometriai optika alapegyenlete.

Az eikonál-egyenletet közvetlenül a hullámegyenletből is levezethetjük a λ→0 határátmenet segítségével. Az f térmennyiség eleget tesz a

2 f x i x i = 0

hullámegyenletnek. Az f=aeiψ kifejezést behelyettesítve, azt kapjuk, hogy

7.6. egyenlet - (53.6)

2 a x i x i e i ψ + 2 i a x i ψ x i e i ψ + i f 2 ψ x i x i ψ x i ψ x i f = 0 .

A ψ eikonál viszont – mint azt fentebb mondottuk – nagy mennyiség; ezért az első három tagot a negyedik mellett elhagyhatjuk, és így megkapjuk az (53.5) egyenletet.

Levezetünk még néhány összefüggést, amelyek vákuumban terjedő fényre alkalmazva, triviális eredményekre vezetnek ugyan, általános alakjukban viszont anyagi közegben terjedő fény esetében is alkalmazhatóak.

Az eikonál-egyenlet alakjából következik, hogy a geometriai optika és az anyagi részecskék mechanikája között érdekes analógia áll fenn. Egy részecske mozgását a (16.11) Hamilton–Jacobi-egyenlet határozza meg. Az eikonál-egyenlethez hasonlóan ez is elsőrendű, másodfokú parciális differenciálegyenlet. Mint ismeretes, az S hatásból megkaphatjuk a részecske p impulzusát és ℋ Hamilton-függvényét:

p = S r , = S t .

A fenti összefüggéseket (53.3)-mal összehasonlítva, látjuk, hogy a hullámvektor a geometrikai optikában ugyanazt a szerepet játssza, mint a részecske impulzusa a mechanikában. A frekvencia a Hamilton-függvénynek, vagyis a részecske energiájának felel meg. A hullámvektor k abszolút értéke és a frekvencia között a k=ω∕c összefüggés áll fenn. Ez megfelel a p=ℰ∕c összefüggésnek, amely egy nulla tömegű és fénysebességgel haladó részecske impulzusát és energiáját köti össze.

Részecskékre teljesülnek a Hamilton-egyenletek:

= r , v = = p .

Az említett párhuzam miatt a sugarakra is felírhatunk hasonló egyenleteket:

7.7. egyenlet - (53.7)

k ̇ = ω r , = ω k .

Vákuumban ω=ck, így k̇=0, v=cn (n a terjedés irányába mutató egységvektor), vagyis – amint az várható volt – vákuumban a sugarak egyenesek, amelyek mentén a fény c sebességgel terjed.

A hullámvektor és egy részecske impulzusa között az analógia igen szemléletesen megnyilvánul a következő példában. Tekintsünk egy monokromatikus hullámok szuperpozíciójaként előálló hullámot, amely egy véges térrészt foglal el, és amelynek spektrumában szereplő monokromatikus hullámok frekvenciája egy kis intervallumba esik (ún. hullámcsomag).(32.6) képletet és az energia-impulzus-tenzor (48.15) kifejezését (az egyes monokromatikus komponensekre) alkalmazva, számítsuk ki a hullám négyesimpulzusát. Az így kapott képletben ki-t valamilyen középértékével helyettesítve,

7.8. egyenlet - (53.8)

P i = A k i

alakú kifejezést kapunk, ahol az A arányossági együttható skalár. Háromdimenziós alakban ez a

7.9. egyenlet - (53.9)

P = A k , = A ω

összefüggéseket eredményezi. Látjuk tehát, hogy a hullámcsomag impulzusa és energiája az egyik vonatkoztatási rendszerről a másikra való áttéréskor úgy transzformálódik, mint a hullámvektor és a frekvencia.

Az analógiát folytatva, a geometriai optikában felírhatjuk a mechanikából ismert legkisebb hatás elvének megfelelőjét. Ezt azonban nem írhatjuk a δ∫Ldt=0 Hamilton-féle alakban, mivel a sugarakra nem lehet bevezetni a részecskék Lagrange-függvényének megfelelő függvényt. Valóban, egy részecske L Lagrange-függvénye a ℋ Hamilton-függvényből az L=p(∂ℋ/∂p)–ℋ összefüggés segítségével fejezhető ki. A Hamilton függvényt az ω frekvenciával, az impulzust a k hullámvektorral helyettesítve, az optika Lagrange-függvényére a k(∂ω/∂k)–ω kifejezést kapjuk. Ez azonban zérus, mivel ω=ck. Az, hogy a sugarakra nem lehet Lagrange-függvényt bevezetni, már abból a fentebb említett körülményből is látható, hogy a sugarak terjedése egy zérus tömegű részecske mozgásával analóg.

Ha a hullámnak egy meghatározott ω frekvenciája van, a hullámtér időfüggését egy e–iωt szorzótényező határozza meg. Egy ilyen hullám eikonálja tehát

7.10. egyenlet - (53.10)

ψ = ω t + ψ 0 ( x , y , z ) ,

ahol ψ0 csak a koordináták függvénye. Az (53.5) eikonál-egyenlet ekkor a következő alakban írható:

7.11. egyenlet - (53.11)

( grad ψ 0 ) 2 = ω 2 c 2 .

A hullámfelületek mentén az eikonál értéke állandó: ψ0(x,y,z)=const. Az egyes pontokban a sugarak merőlegesek a megfelelő hullámfelületre; irányukat a ∇ψ0 gradiens határozza meg.

Mint ismeretes, azokban az esetekben, mikor a részecske energiája állandó, a legkisebb hatás elvét a Maupertuis-elv alakjában is felírhatjuk:

δ S = δ p d l = 0 ,

ahol a részecske pályája mentén kell integrálni annak két adott pontja között. Az impulzust ekkor a részecske energiájának, koordinátáinak és ezek differenciáljainak függvényében kell felírni. A fenti elv megfelelőjét sugarak esetére Fermat-elvnek nevezik. Ekkor az analógia alapján felírhatjuk, hogy

7.12. egyenlet - (53.12)

δ ψ = δ k d l = 0 .

Vákuumban k=(ω/c)n, ezért (ndl=dl miatt):

7.13. egyenlet - (53.13)

δ d l = 0 ,

ami a sugarak egyenes vonalú terjedésének felel meg.