Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

50 §. Részlegesen polarizált fény

50 §. Részlegesen polarizált fény

A definíció szerint minden monokromatikus hullám feltétlenül polarizált. Általában azonban csak majdnem monokromatikus hullámok fordulnak elő, ezek valamilyen kis Δω tartományon belüli frekvenciákat tartalmaznak. Ilyen hullámot vizsgálunk; ω legyen ennek valamilyen átlagos frekvenciája. A hullám terét (konkrétan az elektromos térről lesz szó) egy adott pontban az

E = E 0 ( t ) e i ω t

alakban írhatjuk, ahol az E0(t) komplex amplitúdó az időnek valamilyen lassan változó függvénye (szigorúan monokromatikus hullámnál E0=const lenne). Mivel E0 meghatározza a hullám polarizációját, az előző állítás azt jelenti, hogy a polarizáció a hullám minden pontjában időtől függően változik; az ilyen hullámot részlegesen polarizáltnak nevezzük.

Az elektromágneses hullámok, speciálisan a fény polarizációs tulajdonságait kísérletileg úgy tanulmányozzák, hogy a fényt különböző testeken (például Nicol-prizmán) bocsátják keresztül, és mérik az áthaladó fény intenzitását. Matematikailag ez azt jelenti, hogy a fény polarizációs tulajdonságaira nézve a térerősség bizonyos kvadratikus függvényeinek értékeiből vonnak le következtetéseket. Természetesen a függvények időbeli átlagértékeiről van szó.

A térerősség kvadratikus függvényei az EαEβ, Eα∗Eβ∗ vagy EαEβ∗ szorzatokkal arányos tagokból állnak. Az

E α E β = E 0 α E 0 β e 2 i ω t , E α E β = E 0 α E 0 β e 2 i ω t

típusú szorzatok a gyorsan oszcilláló e±2iωt tényezőt tartalmazzák, ezek az időátlagolás során eltűnnek. Az EαEβ∗=E0αE0β∗ szorzat ilyen tényezőt nem tartalmaz, ezért átlagértéke nullától különböző. Látjuk tehát, hogy a részlegesen polarizált fény tulajdonságait teljes mértékben jellemzi a

6.52. egyenlet - (50.1)

J α β = E 0 α E 0 β ¯

tenzor.

Mivel az E0 vektor mindig a hullám irányára merőleges síkban fekszik, a Jαβ tenzornak négy, nullától különböző komponense van. (Ebben a paragrafusban az α, β indexek az 1, 2 értékeket veszik fel az y és z tengelynek megfelelően; az x tengely a hullám terjedési irányába mutat.)

A Jαβ tenzor főátlóbeli komponenseinek összege valós mennyiség, ez az E0 vektor (vagy ami ugyanaz, az E vektor) abszolút értéke négyzetének átlaga:

6.53. egyenlet - (50.2)

J J α α = E 0 E 0 ¯ .

Ez a mennyiség határozza meg a hullám intenzitását, ami a benne folyó energiaáram sűrűségét méri. Hogy kiküszöböljük ezt a polarizációs tulajdonságokkal egyenes kapcsolatban nem álló mennyiséget, Jαβ helyett a

6.54. egyenlet - (50.3)

ϱ α β = J α β J

tenzort vezetjük be, amelyre ϱαα=1; ezt nevezzük polarizációs tenzornak.

Az (50.1) definícióból látható, hogy a Jαβ és ezzel együtt a ϱαβ tenzor komponensei között fennáll a

6.55. egyenlet - (50.4)

ϱ α β = ϱ β α

összefüggés (azt mondjuk, hogy a tenzor hermitikus). Ennek megfelelően a ϱ11 és ϱ22 diagonális komponensek valósak (ϱ11+ϱ22=1), továbbá ϱ21=ϱ12∗. Következésképpen a polarizációs tenzort három valós paraméter jellemzi.

Most megvizsgáljuk, hogy teljesen polarizált fény esetén milyen feltételeket kell kielégítenie a ϱαβ polarizációs tenzornak. Ebben az esetben E0=const, így egyszerűen

6.56. egyenlet - (50.5)

J α β = J ϱ α β = E 0 α E 0 β

(átlagolás nélkül), azaz a tenzor komponensei valamilyen állandó vektor komponenseinek szorzataként állíthatók elő. Ennek szükséges és elégséges feltétele a |ϱαβ| determináns eltűnése:

6.57. egyenlet - (50.6)

| ϱ α β | = ϱ 1 1 ϱ 2 2 ϱ 1 2 ϱ 2 1 = 0 .

Az ellentétes eset a polarizálatlan vagy természetes fény. A teljes polarizálatlanság azt jelenti, hogy (az yz síkban) minden irány egyenértékű. Más szóval, a polarizációs tenzor alakja szükségszerűen a következő:

6.58. egyenlet - (50.7)

| ϱ α β | = 1 2 δ α β .

A determináns: ϱαβ=1∕4.

Általánosan, tetszőleges polarizációnál a determináns értéke 0 és 1∕4 között van.[50] A

6.59. egyenlet - (50.8)

| ϱ α β | = 1 4 ( 1 P 2 )

összefüggéssel definiált pozitív P mennyiséget a polarizáció fokának nevezzük. Ez a 0 és 1 közötti értékeket vehet fel, polarizálatlan fényre 0, polarizáltra 1.

Tetszőleges ϱαβ tenzor felbontható egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor összegére. Az első rész,

Sαβ=12|ϱαβ+ϱβα|

a ϱαβ hermitikussága következtében valós. Az antiszimmetrikus rész ezzel ellentétben tiszta képzetes. Mint minden, a dimenziók számával azonos rendű antiszimmetrikus tenzor, ez is egy pszeudoskalárral adható meg (lásd a  14. §  8 számú lábjegyzetét):

12(ϱαβ+ϱβα)=i2eαβA,

ahol A valós pszeudoskalár, eαβ az antiszimmetrikus egységtenor (komponensei e12=–e21=1). Így a polarizációs tenzor alakja a következő:

6.60. egyenlet - (50.9)

ϱ α β = S α β i 2 e α β A , S α β = S β α ,

azaz egy valós szimmetrikus tenorra és egy pszeudoskalárra vezethető vissza.

Cirkulárisan polarizált hullám esetén E0=const, és

E 0 2 = ± i E 0 1 .

Könnyen látható, hogy Sαβ=0, A=±1. Ezzel ellentétben a lineárisan polarizált hullámnál az állandó E0 vektor valósnak választható, így A=0. Az A mennyiséget általában a cirkuláris polarizáció fokának nevezhetjük; lehetséges értékei +1 és –1 közé esnek; e határértékek a cirkulárisan jobbra, ill. balra polarizált hullámnak felelnek meg.

A valós Sαβ tenzor, mint minden szimmetrikus tenzor, főtengelyre transzformálható; a két különböző főértéket λ1 és λ2 jelöli. A főtengelyek merőlegesek egymásra. Jelölje a főtengelyek irányába mutató egységvektorokat n(1) és n(2), ekkor Sαβ a következő alakban írható:

6.61. egyenlet - (50.10)

S α β = λ 1 n α ( 1 ) n β ( 1 ) + λ 2 n α ( 2 ) n β ( 2 ) , λ 1 + λ 2 = 1 .

A λ1 és λ2 mennyiségek pozitívak, 0 és 1 közötti értéket vesznek fel.

Legyen A=0, így ϱαβ=Sαβ. (50.10) mindkét tagja egy állandó valós vektor (√(λ1)n(1) vagy √(λ2)n(2))két komponensének szorzata. Más szóval, mindkét tag lineárisan polarizált fénynek felel meg. Látjuk továbbá, hogy (50.10)-ben nincs olyan tag, amely e két hullám komponenseinek szorzatát tartalmazná. Ez azt jelenti, hogy a két rész, egymástól fizikailag függetlennek tekinthető, vagy ahogy mondani szokás, inkoherens. Valóban, ha két hullám független egymástól, akkor az Eα(1)Eβ(2) szorzat átlagértéke az egyes tényezők átlagértékeinek szorzata, és minthogy ez utóbbiak zérusok,

E α ( 1 ) E β ( 2 ) ¯ = 0 .

Arra az eredményre jutottunk tehát, hogy a vizsgált esetben (A=0) a részlegesen polarizált hullám két inkoherens (λ1-gyel, ill. λ2-vel arányos intenzitású), egymásra merőleges irányban lineárisan polarizált hullám szuperpozíciójaként állítható elő. [51] (Általános esetben komplex ϱαβ tenzorra megmutatható, hogy a fény két inkoherens elliptikusan polarizált hullám szuperpozíciójaként állítható elő; a polarizációs ellipszisek hasonlóak, és merőlegesek egymásra. Lásd a 2. feladatot.)

Legyen φ az 1 tengely (y tengely) és az n(1) egységvektor által bezárt szög; ekkor

n ( 1 ) = ( cos φ , sin φ ) , n ( 2 ) = ( sin φ , cos φ ) .

Bevezetve az l=λ1–λ2 mennyiséget (legyen λ1>λ2), az (50.10) tenzor komponenseit a következő alakba írhatjuk:

6.62. egyenlet - (50.11)

S α β = 1 2 1 + l cos 2 φ l sin 2 φ l sin 2 φ 1 l cos 2 φ .

Így a hullám polarizációs tulajdonságait tetszőleges y, z tengelyek esetén a következő három valós paraméterrel jellemezhetjük: A a cirkuláris polarizáció foka, l a maximális lineáris polarizáció foka, φ a maximális polarizáció n(1) iránya és az y tengely által bezárt szög.

Ezek helyett bizonyos esetekben célszerűbb lehet másik három paraméter:

6.63. egyenlet - (50.12)

ξ 1 = l sin 2 φ , ξ 2 = A , ξ 3 = l cos 2 φ

(ezeket Stokes-paramétereknek szokták nevezni). A polarizációs tenzor velük kifejezett alakja:

6.64. egyenlet - (50.13)

ϱ α β = 1 2 1 + ξ 3 ξ 1 i ξ 2 ξ 1 + i ξ 2 1 ξ 3 .

Mindhárom paraméter –1 és +1 között változik. ξ3 az y és z tengelyek menti lineáris polarizációra jellemző: ξ3=1 érték az y tengely menti, ξ3=–1 a z tengely menti teljes lineáris polarizációnak felel meg. A ξ1 paraméter az y tengellyel 45∘-os szöget bezáró egyenes menti lineáris polarizációt jellemzi: ξ1=1 a φ=π∕4, a ξ1=–1 a φ=–π∕4 irányú teljes polarizációnak felel meg.[52]

Az (50.13) tenzor determinánsa

6.65. egyenlet - (50.14)

| ϱ α β | = 1 4 ( 1 ξ 1 2 ξ 2 2 ξ 3 2 ) .

(50.8)-cal összehasonlítva, látjuk, hogy

6.66. egyenlet - (50.15)

P = ξ 1 2 + ξ 2 2 + ξ 3 2 ,

így ha a polarizáció P foka rögzített, adott négyzetösszeggel rendelkező ξ1, ξ2, ξ3 három mennyiséggel jellemzett különböző polarizációtípusok valósulhatnak meg; a számhármas tagjai adott hosszúságú vektor komponenseiként viselkednek.

Megjegyezzük, hogy a ξ2=A és √(ξ12+ξ32)=l mennyiségek Lorentz-transzformációval szemben invariánsak. Ez már jelentésükből is majdnem nyilvánvaló; egyik a cirkuláris, másik a lineáris polarizáció foka.[53]

Feladatok

1. Tetszőleges részlegesen polarizált fényt bontsunk fel „természetes” és „polarizált” részre.

Megoldás. A felbontás azt jelenti, hogy a Jαβ tenort a

J α β = 1 2 J ( l ) δ α β + E 0 α ( ) E 0 β ( p )

alakban állítjuk elő. Az első tag a fény természetes, a második annak polarizált része. Az intenzitások meghatározásához megjegyezzük, hogy a második tenzor determinánsa zérus:

J α β 1 2 J ( l ) δ α β = | E 0 α ( p ) E 0 β ( p ) | = 0 .

J α β =Jϱαβ az (50.13) alakban írva és az egyenletet megoldva, azt kapjuk, hogy

J ( l ) = J ( 1 P ) .

A polarizált rész intenzitása J(P)=|E0(P)|2=J–J(t)=JP.

A fény polarizált része általában elliptikusan polarizált hullám, az ellipszis tengelyei az Sαβ tenzor főtengelyeivel esnek egybe. A tengelyek b1 és b2 nagysága, a b1 tengely és az y tengely által bezárt φ szög a

b 1 2 + b 2 2 = J P , 2 b 1 b 2 = J ξ 2 , tg 2 φ = ξ 2 ξ 3

egyenlőségekből határozható meg.

2. Állítsunk elő tetszőleges részlegesen polarizált hullámot két inkoherens elliptikusan polarizált hullám szuperpozíciójaként.

Megoldás. A hermitikus ϱαβ tenzor „főtengelyeit” az a két n komplex egységvektor (nn∗=1) határozza meg, amely kielégíti a

6.67. egyenlet - (1)

ϱ α β n β = λ n α

egyenletet. A λ1 és λ2 sajátértékeket a

|ϱαβλδαβ|=0

egyenlet gyökei adják. Szorozzuk meg (1) mindkét oldalát nα∗-gal:

λ=ϱαβnαnβ=1J|E0αnα|2¯,

amiből látszik, hogy λ1, λ2 valósak és pozitívak. A

ϱαβnβ(1)=λ1nα(1),ϱαβnβ(2)=λ2nα

egyenletek közül az elsőt nα(2)∗-gal, a másodikat nα(1)-gyel szorozva és a kettőt egymásból kivonva, a ϱαβ tenzor hermitikus voltát felhasználva, azt kapjuk, hogy

(λ1λ2)nα(1)nα(2)=0.

Ebből következik, hogy n(1)n(2)∗=0, azaz az n(1) és n(2) egységvektorok merőlegesek egymásra.

A keresett felbontás:

ϱαβ=λ1nα(1)nβ(1)+λ2nα(2)nβ(2).

A komplex amplitúdó mindig megválasztható úgy, hogy a két merőleges összetevő közül az egyik valós, a másik képzetes legyen (vö. a  48. §-sal). Az

n1(1)=b1,n2(1)=ib2

választással (ahol most b1-re és b2-re a b12+b22=1 normálási feltétel érvényes) az n(1)n(2)∗=0 egyenletből azt kapjuk, hogy

n1(2)=ib2n2(2)=b1.

Látható, hogy az elliptikusan polarizált rezgések ellipszisei hasonlóak (a tengelyek aránya azonos), és egymásra merőlegesek.

3. Határozzuk meg a Stokes-paraméterek transzformációs szabályát az y, z tengelyek φ szöggel való elforgatása során.

Megoldás. A keresett szabályokat a Stokes-paraméterek és az yz síkbeli kétdimenziós tenzor komponensei között fennálló összefüggések határozzák meg. Az eredmény a következő:

ξ 1 = ξ 1 cos 2 φ ξ 3 sin 2 φ , ξ 3 = ξ 1 sin 2 φ + ξ 3 cos 2 φ , ξ 2 = ξ 2 .



[50] Arról, hogy tetszőleges (50.1) alakú tenzor determinánsa pozitív, könnyen meggyőződhetünk úgy, hogy az átlagolást különböző, diszkrét értékek sorozatára vett összegezésnek tekintjük, és alkalmazzuk az ismert |∑a,bxayb|2≤∑a|xa|2∑b|yb|2 algebrai egyenlőtlenséget.

[51] A determináns |Sαβ|=λ1λ2. Legyen λ1>λ2, ekkor a polarizáció foka (50.8) szerint P=1–2λ2. Az adott esetben (A=0) a polarizáció fokának jellemzésére gyakran használják a depolarizációs együtthatót, amelyet a λ2∕λ1 hányados definiál.

[52] A teljes elliptikus polarizációjú hullámra a Stokes-paraméterek értéke a következő (b1 és b2) az ellipszis tengelyei: ξ1=0, ξ=±2b1b2, ξ3=b12–b22.

[53] A pontos bizonyítást azzal kezdjük, hogy mivel a hullámban a térerősség tetszőleges vonatkoztatási rendszerben transzverzális, így előre nyilvánvaló, hogy a ϱαβ az új rendszerben is kétdimenziós. A transzformáció során a ϱαβϱαβ∗ abszolút értékek négyzeteinek összege nem változik. (Valóban, a transzformációs képlet nem függ a fény konkrét polarizációs tulajdonságaitól, teljesen polarizált hullámra pedig ez az összeg tetszőleges vonatkoztatási rendszerben 1.) Mivel a transzformáció valós, az (50.9)ϱαβ tenzor valós és képzetes része egymástól függetlenül transzformálódik, s így ezekre külön-külön igaz, hogy a komponensek négyzetösszege nem változik. A két négyzetösszeg rendre l-lel és A-val fejezhető ki.