Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

38 §. Egyenletesen mozgó töltés erőtere

38 §. Egyenletesen mozgó töltés erőtere

Meghatározzuk az egyenletes V sebességgel mozgó töltés erőterét. K-val jelöljük a nyugvó, K′-vel a töltéssel együtt mozgó vonatkoztatási rendszert. Legyen a töltés a K′ rendszer kezdőpontjában, K′ a K-hoz képest az x tengely irányában mozog; az y, ill. z tengely párhuzamos y′ -vel, ill. z′-vel. A t=0 kezdeti időpontban a két rendszer egybeesik. A töltés koordinátái tehát a K rendszerben: x=Vt,y=z=0. A K′ rendszerben állandó elektromos tér van, a vektorpotenciál A′=0, a skalárpotenciál φ′=e∕R′, ahol R′2=x′2+y′2+z′2. A (24.1) képletek szerint K rendszerben

5.18. egyenlet - (38.1)

φ = φ 1 V 2 c 2 = e R 1 V 2 c 2 .

Ki kell most fejeznünk R′-t a K rendszerbeli x, y, z koordinátákkal. A Lorentz-transzformáció képletei szerint

x = x V t 1 V 2 c 2 y = y , z = z ,

és így

5.19. egyenlet - (38.2)

R 2 = ( x V t ) 2 + 1 V 2 c 2 ( y 2 + z 2 ) 1 V 2 c 2 .

Ezt (38.1)-be helyettesítve, azt kapjuk, hogy

5.20. egyenlet - (38.3)

φ = e R ,

ahol bevezettük az

5.21. egyenlet - (38.4)

R 2 = ( x V t ) 2 + 1 V 2 c 2 ( y 2 + z 2 )

jelölést.

A K rendszerben a vektorpotenciál:

5.22. egyenlet - (38.5)

A = φ V c = e V c R .

A K′ rendszerben mágneses tér nincs, az elektromos térerősség:

E = e R R 3 .

(24.2) képletek alapján a következőket kapjuk:

E x = E x = e x R 3 , E y = E y 1 V 2 c 2 = e y R 3 1 V 2 c 2 , E z = e z R 3 1 V 2 c 2

Behelyettesítve ide az R′, x′, y′, z′ mennyiségek x, y, z-vel kifejezett alakjait, azt kapjuk, hogy

5.23. egyenlet - (38.6)

E = 1 V 2 c 2 e R R 3 ,

ahol R az e töltéstől a tér x, y, z megfigyelési pontjába mutató helyvektor (komponensei x–Vt, y, z).

E-nek ezt a kifejezését más alakban is írhatjuk, ha bevezetjük a mozgás iránya és az R helyvektor által bezárt 𝜃 szöget. Nyilvánvaló, hogy y2+z2=R2sin2𝜃, és ezért R∗2 az

5.24. egyenlet - (38.7)

R 2 = R 2 1 V 2 c 2 sin 2 𝜃

alakban írható. E kifejezése ezzel a következő:

5.25. egyenlet - (38.8)

E = e R R 3 1 V 2 c 2 1 V 2 c 2 sin 2 𝜃 3 2 .

A töltéstől adott R távolságra a térerősség nagysága növekszik, ha 𝜃 nullától π∕2-ig nő (vagy π-ről π∕2-ig csökken). A legkisebb értéket a mozgásiránnyal párhuzamos irányban (𝜃=0,π) veszi fel; itt

E = e R 2 1 V 2 c 2 .

A sebességre merőleges irányban (𝜃=(π/2)) legnagyobb a térerősség, itt

E = e R 2 1 1 V 2 c 2 .

Megjegyezzük, hogy a sebesség növekedésével E∥ csökken, E⊥ nő. Szemléletesen azt mondhatjuk, hogy a mozgó töltés elektromos tere a mozgás irányában „összelapul”. Fénysebességhez közeli sebességnél a (38.8) képlet nevezője a 𝜃=π∕2 körüli szűk intervallumban vesz fel nullához közeli értéket. Az intervallum szélessége

Δ 𝜃 1 V 2 c 2 .

nagyságrendű. A gyorsan mozgó elektromos töltés tere a töltéstől adott távolságban tehát csak egy szűk szögtartományban különbözik jelentősen a nullától, a tartomány szélessége V növekedésével √(1–V2∕c2) szerint csökken.

A K rendszerben a mágneses térerősség:

5.26. egyenlet - (38.9)

H = 1 c V × E

[lásd a (24.5) képletet]. Speciálisan, V≪c esetén az elektromos teret közelítőleg az E=(eR/R3) Coulomb-törvény adja meg, ekkor a mágneses térerősség:

5.27. egyenlet - (38.10)

H = e c V × R R 3 .

Feladat

Határozzuk meg (a K rendszerben) a kölcsönhatási erőt két azonos V sebességgel mozgó töltés között.

Megoldás. A keresett F erő az, amit az egyik töltésre (e1) a másik (e2) erőtere kifejt. (38.9) segítségével írhatjuk, hogy

F = e 1 E 2 + e 1 c V × H 2 = e 1 1 V 2 c 2 E 2 + e 1 c 2 V ( V E 2 ) .

E 2 (38.8)-beli kifejezését behelyettesítve, az erőnek a mozgás irányába eső (Fx) és arra merőleges (Fy) komponensére a következőket kapjuk:

F x = e 1 e 2 R 2 1 V 2 c 2 cos 𝜃 1 V 2 c 2 sin 2 𝜃 3 2 , F y = e 1 e 2 R 2 1 V 2 c 2 sin 𝜃 1 V 2 c 2 sin 2 𝜃 3 2

ahol R az e2-től e1-hez húzott helyzetvektor hosszúsága, 𝜃 az R és V vektor által bezárt szög.