Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

5. fejezet - SZTATIKUS ELEKTROMÁGNESES TÉR

5. fejezet - SZTATIKUS ELEKTROMÁGNESES TÉR

36 §. Az Coulomb-törvény

Állandó elektromos, azaz elektrosztatikus tér esetén a Maxwell-egyenletek a következő alakot öltik:

5.1. egyenlet - (36.1)

div E = 4 π ϱ ,

5.2. egyenlet - (36.2)

rot E = 0 .

Az E elektromos térerősség kifejezhető egyedül a skalárpotenciállal:

5.3. egyenlet - (36.3)

E = grad φ .

(36.3)-at (36.1)-be helyettesítve, megkapjuk az állandó elektromos tér potenciáljára vonatkozó egyenletet:

5.4. egyenlet - (36.4)

φ = 4 π ϱ .

Ez a Poisson-egyenlet. Vákuumban (ϱ=0 esetén) a potenciál a

5.5. egyenlet - (36.5)

φ = 0

Laplace-egyenletnek tesz eleget.

Az utóbbi egyenletből egyebek között az következik, hogy az elektromos tér potenciáljának sehol nem lehet se maximuma, se minimuma. Hogy φ-nek szélső értéke legyen, annak szükséges feltétele, hogy φ koordináták szerinti első differenciálhányadosai eltűnjenek, a ∂2φ∕∂x2,∂2φ∕∂y2,∂2φ∕∂z2 második differenciálhányadosok előjele pedig azonos legyen. Ez utóbbi azonban nem lehetséges, mivel akkor a (36.5) egyenlet nem teljesülhetne.

Meghatározzuk a ponttöltés által létrehozott erőteret. Szimmetriamegfontolások alapján világos, hogy a térerősség minden pontban az e töltés helyéről a kérdéses pontba mutató helyvektorral azonos irányú. Ugyanúgy nyilvánvaló az is, hogy az E térerősség nagysága csak a töltéstől mért R távolság függvénye. A térerősség nagyságának meghatározására a (36.1) egyenlet (30.5) integrálalakját használjuk. Az elektromos térnek az e töltés körül rajzolt R sugarú gömb felületén keresztülfolyó árama 4πR2E-vel egyenlő; ennek 4πe-vel kell megegyeznie. Ezért

E=eR2.

Vektoriális alakban:

5.6. egyenlet - (36.6)

E = e R R 3 .

Így a ponttöltés tere a töltéstől mért távolság négyzetével fordítottan arányos. Ez a Coulomb-törvény. Az erőtér potenciálja:

5.7. egyenlet - (36.7)

φ = e R .

Töltésrendszer erőtere a szuperpozíció elve alapján az egyes töltések erőterének összege. Az ilyen erőtér potenciálja:

φ=aeaRa,

ahol Ra a potenciálpontnak az ea töltés helyétől mért távolsága. Bevezetve a ϱ töltéssűrűséget, ez a képlet a

5.8. egyenlet - (36.8)

φ = ϱ R d V

alakban írható, ahol R a dV térfogatelemnek és a megfigyelési pontnak a távolsága.

Felírjuk ϱ és φ ponttöltésre vonatkozó kifejezéseinek (36.4)-be való helyettesítésével adódó matematikai összefüggést. A ϱ=eδ(R) és φ=e∕R képletek alapján:

5.9. egyenlet - (36.9)

1 R = 4 π δ ( R ) .