Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

33 §. Az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzora

33 §. Az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzora

Az előző szakasz általános eredményeit most az elektromágneses térre alkalmazzuk. Ebben az esetben a (32.1) integrál integrandusa (27.4) szerint:

Λ = 1 1 6 π F k l F k l .

A q mennyiségek a tér Ak négyespotenciáljának komponensei, tehát a Tlk tenzor (32.5) alakja a következő:

T i k = A l x i Λ ( A l x k ) δ i k Λ .

Λ differenciálhányadosának kiszámításához felírjuk a

δ Λ = 1 8 π F k l F k l = 1 8 π F k l δ A l x k A k x l

variációt. Felcserélve az indexeket és kihasználva, hogy Fkl antiszimmetrikus, a következőt kapjuk:

δ Λ = 1 4 π F k l δ A l x k .

Ebből látható, hogy

Λ ( A l x k ) = 1 4 π F k l ,

és ezért

T i k = 1 4 π A l x i F k l + 1 1 6 π δ i k F l m F l m ,

vagy a kontravariáns komponensekkel felírva:

T i k = 1 4 π A l x i F l k + 1 1 6 π g i k F l m F l m .

Ez a tenzor még nem szimmetrikus. Hogy az legyen, hozzáadjuk az

1 4 π A l x l F l k

mennyiséget. Ha töltések nincsenek, akkor a (30.2) téregyenlet szerint ∂Flk∕∂xi=0, és ezért

1 4 π A i x l F l k = 1 4 π x l ( A i F l k ) ,

tehát Tik-t a (32.7) által leírt módon változtattuk meg, ami megengedett. ∂Al∕∂xi–∂Ai∕∂xl=Fil, így az elektromágneses tér energia-impulzus-tenzorára végül a következő kifejezést kapjuk:

4.59. egyenlet - (33.1)

T i k = 1 4 π F i l F l k + 1 4 g i k F l m F l m .

Nyilvánvaló, hogy ez a tenzor szimmetrikus, átlósösszege

4.60. egyenlet - (33.2)

T i i = 0 .

A Tik tenzor komponenseit kifejezzük az elektromos és a mágneses térerősséggel. Fik-nak a (32.5) alakját használva, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy T00, amint annak lennie kell, a (31.5) energiasűrűséggel, a cT0α komponensek pedig a (31.2)S Poynting-vektor komponenseivel egyeznek meg. A Tαβ térszerű komponensek hármastenzort alkotnak, ennek komponensei:

σ x x = 1 8 π ( E y 2 + E z 2 E x 2 + H y 2 + H z 2 H x 2 ) , σ x y = 1 4 π ( E x E y + H x H y )

stb., vagy általánosan:

4.61. egyenlet - (33.3)

σ α β = 1 4 π E α E β H α H β + 1 2 δ α β ( E 2 + H 2 ) .

E háromdimenziós tenzort Maxwell-féle feszültségtenornak nevezik.

Hogy a Tik tenzort diagonalizáljuk, olyan vonatkoztatási rendszerre kell áttérnünk, amelyben az E és H vektorok (a tér adott pontjában, adott időpillanatban) párhuzamosak, vagy egyikük zérus; már láttuk (25.§), hogy ez mindig lehetséges, kivéve azt az esetet, amikor E és H merőleges egymásra, és nagyságuk megegyezik. Könnyen látható, hogy e transzformáció után Tik-nak zérustól különböző komponensei a következők:

T 0 0 = T 1 1 = T 2 2 = T 3 3 = W

(a térerősség az x tengely irányába mutat).

Ha az E és H vektor merőleges egymásra, és nagyságuk megegyezik, akkor a Tik tenzor nem transzformálható diagonális alakra.[36] A nullától különböző komponensek ebben az esetben:

T 0 0 = T 3 3 = T 3 0 = W .

(E irányát választottuk x tengelynek, H irányát y tengelynek.)

Eddig az erőteret (mezőt) töltések nélkül vizsgáltuk. Töltött részecskék jelenléte esetén az egész rendszer energia-impulzus-tenzora az elektromágneses tér és a részecskék energia-impulzus-tenzorának összege. (Az utóbbiban feltételezzük, hogy a részecskék nem hatnak kölcsön egymással.)

A részecskék energia-impulzus-tenzorának meghatározásához a tömeg térbeli eloszlását a „tömegsűrűséggel” kell leírnunk, hasonlóan ahhoz, ahogyan a pontszerű töltések eloszlását leírjuk a töltéssűrűségükkel. A (28.1) képlethez hasonlóan a tömegsűrűség a

4.62. egyenlet - (33.4)

μ = a m a δ ( r r a )

alakban írható (ra a részecske helyvektora, összegezni a rendszer összes részecskéjére kell).

A részecskék „négyesimpulzus-sűrűségét” μcui alakban írjuk. Tudjuk, hogy ezt az energia-impulzus-tenzor T0α∕c komponensei adják, azaz T0α=μc2uα (α=1,2,3). A tömegsűrűség azonban a (μ/c)(dxk/dt) négyesvektor időszerű összetevője (hasonlóan a töltéssűrűséghez; lásd a  28. §-t). Ezért az egymással nem kölcsönható részecskék rendszerének energia-impulzus-tenzora:

4.63. egyenlet - (33.5)

T i k = μ c d x i d s d x k d t = μ c u i u k d s d t .

A tenzor, amint az várható, szimmetrikus.

Közvetlen számolással győződünk meg arról, hogy az anyagi rendszer energiája és impulzusa, mint az erőtér és a részecskék energiájának és impulzusának összege, valóban megmarad. Igazolnunk kell tehát a megmaradási törvényt kifejező

4.64. egyenlet - (33.6)

x k ( T i ( t ) k + T i ( r ) k ) = 0

egyenletet.

Differenciáljuk a (33.1) kifejezést:

T i ( t ) k x k = 1 4 π 1 2 F l m F l m x i F k l F i l x k F i l F k l x k .

(26.5) és (30.2) Maxwell-egyenletek szerint a

F l m x i = F m i x l F i l x m , F k l x k = 4 π c j l

helyettesítéseket végezhetjük. Így kapjuk, hogy

T i ( t ) k x k = 1 4 π 1 2 F l m F m i x l 1 2 F l m F i l x m F k l F i l x k 4 π c F i l j l .

Megfelelő indexcseréket végezve, könnyen megmutatható, hogy az első három tag együtt zérust ad, így

4.65. egyenlet - (33.7)

T i ( t ) k x k = 1 c F i l j l .

(33.5) tenzor differenciálhányadosa:

Ti(r)kxk=cuixkμdxkdt+μcdxkdtuixk.

A kifejezés első tagja eltűnik, mivel az egymással kölcsönhatásban nem álló részecskék tömege megmarad. Valóban: a μ(dxk/dt) mennyiség a „tömegáram” négyesvektora, ami a töltések áramának (28.2) négyesvektorával analóg kifejezés; a tömegmegmaradást e négyesvektor négyesdivergenciájának eltűnése fejezi ki:

4.66. egyenlet - (33.8)

x k μ d x k d t = 0 ,

hasonlóan (29.4)-hez, ami a töltésmegmaradás kifejezése. Így

Ti(r)kxk=μcdxkdtuixk=μcduidt.

A további átalakításhoz felhasználjuk a térben levő töltés négydimenziós alakban felírt (23.4) mozgásegyenletét:

mcduids=ecFikuk.

A folytonos töltés- és tömegeloszlásra való áttérésnél a μ és ϱ sűrűségek definíciója szerint írhatjuk, hogy μ∕m=ϱ∕e. Ezért a mozgásegyenlet a

μcduids=ϱcFikuk,

vagy tovább alakítva a

μcduids=1cFikϱukdsdt=1cFikjk

alakban írható. Így végül

4.67. egyenlet - (33.9)

T i ( r ) k x k = 1 c F i k j k .

(33.7)-et és (33.9)-et összeadva, valóban nullát kapunk, azaz a (33.6) egyenletre jutunk.



[36] Az a tény, hogy a Tik szimmetrikus négyestenzor nem mindig transzformálható főtengelyekre, a négyestér pszeudoeuklideszi voltával függ össze (lásd a  94. §  feladatát).