L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)
Typotex
Az előző szakaszban bevezettük az elektromágneses tér energiakifejezését. Most ezt az erőtér impulzusával együtt négydimenziós alakban írjuk fel. Az egyszerűség kedvéért egyelőre a töltésmentes elektromágneses teret vizsgáljuk. A további alkalmazás lehetőségét (gravitációs teret) és a kifejtés egyszerűségét is szem előtt tartva, a levezetést általánosságban végezzük el, az anyagi rendszer konkretizálása nélkül.
Tekintsünk valamilyen anyagi rendszert, melynek hatásintegrálja
ahol a rendszer állapotát meghatározó
mennyiségeknek és azok
koordináták és idő szerinti deriváltjainak függvénye (elektromágneses térben a
mennyiségek a négyespotenciál komponensei); a rövidség kedvéért csak egy
változót írunk ki. Megjegyezzük, hogy a
integrál az anyagi rendszer
Lagrange-függvénye, így
Lagrange-sűrűségnek tekinthető. Az anyagi rendszer
zártságát matematikailag az fejezi ki, hogy
nem függ explicit módon
-től,
hasonlóan ahhoz, hogy zárt mechanikai rendszer Lagrange-függvénye nem függ
explicit módon az időtől.
A „mozgásegyenletek” (azaz ha valamilyen térről van szó, a téregyenletek)
legkisebb hatás elve szerint variációjával adódnak. Eszerint:
A második tag a Gauss-tétel szerint átalakítható, és a teljes térre való integrálás során eltűnik. Így a következő „mozgásegyenletekre” jutunk:
(a kétszer előforduló indexre természetesen mindenütt összegeznünk
kell).
A továbbiakban az eljárás azonos azzal, amit a mechanikában az energiamegmaradás törvényének levezetésekor megismertünk. Eszerint felírjuk, hogy
Behelyettesítve ide (32.2)-t, és észrevéve, hogy , következőket kapjuk:
A bal oldalon
Bevezetve a
jelölést, az egyenletet a
alakba írhatjuk. Ha nem egy, hanem több mennyiségünk van, akkor (32.3)
helyett
érvényes.
A 29. §-ban láttuk, hogy egy egyenlet, azaz egy vektor
négyesdivergenciájának zérus volta ekvivalens azzal az állítással, hogy a
vektornak a teljes háromdimenziós térfogatot körülzáró hiperfelületre vett
integrálja megmarad. Nyilvánvaló, hogy azonos állítás érvényes a
tenzorokra is: a (32.4) egyenlet ekvivalens azzal, hogy a
vektor megmarad. -t a rendszer négyesimpulzusával kell azonosítanunk. Az
integrál előtt álló szorzótényezőt úgy választjuk meg, hogy a
időszerű
komponens a korábbi meghatározásának megfelelően az anyagi rendszer
energiájának
-szerese legyen.
ha
az integrált az hipersíkra képezzük. Másrészt (32.3) szerint
(ahol ). Az energiát a Lagrange-függvénnyel összekötő ismert
összefüggésnek megfelelően
-t az energiasűrűségnek kell tekintenünk,
tehát
a rendszer teljes energiája. Ezért az állandó helyébe
-t
kell írnunk. Így a rendszer négyesimpulzusának végső kifejezése a
következő:
A tenzort a rendszer energia-impulzus-tenzorának nevezzük.
Meg kell jegyeznünk, hogy a tenzor meghatározása nem egyértelmű.
Valóban, ha
a (32.3) képlettel meghatározott tenzor, akkor minden más
alakú tenzor kielégíti a (32.4) megmaradási egyenletet, mivel a tenzor a
és
indexekben antiszimmetrikus, és így teljesül a
azonosság. A rendszer teljes négyesimpulzusa azonban nem változik, mert (6.17)
szerint
ahol az egyenlőség jobb oldalán az integrált arra a (közönséges) felületre kell képezni, amely körülfogja a bal oldali integrációs tartományt képező hiperfelületet. Ez nyilvánvalóan a háromdimenziós tér végtelen távoli felülete, és mivel a végtelenben a tér is eltűnik, részecskék sincsenek, az integrál értéke zérus. Így az anyagi rendszer négyesimpulzusa egyértelműen meghatározott mennyiség, ahogy annak lennie kell.
A tenzor egyértelmű meghatározásához felhasználhatjuk azt, hogy az
impulzusmomentum négyestenzora az
összefüggésben áll a négyesimpulzussal, azaz a megfelelő sűrűségek között teljesül a szokásos összefüggés.
Könnyen megkaphatjuk, hogy ehhez milyen feltételt kell az energia-impulzus-tenzornak
kielégítenie. Az impulzusmomentum megmaradásának törvénye, mint már
tudjuk, kifejezhető úgy, hogy (32.8) alakjában az integrandus divergenciája zérus,
vagyis
Mivel és
, ezért
vagy
azaz az energia-impulzus-tenzornak szimmetrikusnak kell lennie.
Megjegyezzük, hogy a (32.5) képlettel meghatározott tenzor általában nem
szimmetrikus, de (32.7) segítségével azzá tehető
megfelelő megválasztásával. A
későbbiekben (94. §) látni fogjuk, hogy létezik olyan módszer, amellyel a
szimmetrikus
tenzor közvetlenül megkapható.
Már előbb szó volt arról, hogy ha (32.6)-ban az integrálást egy
hipersíkra végezzük, akkor
alakja a következő:
ahol az integrálást a teljes (háromdimenziós) térre kell végezni. térszerű
komponensei az anyagi rendszer impulzusának hármasvektorát alkotják, az
időszerű komponens pedig az energia
-szerese. Ezért az
összetevők által alkotott vektort impulzussűrűségnek, a
mennyiséget pedig energiasűrűségnek nevezhetjük.
többi komponense jelentésének kiderítéséhez átírjuk a (32.4)
megmaradási egyenletet, szétválasztva benne a tér és idő szerint képzett
differenciálhányadosokat:
Integráljuk az egyenleteket a tér valamely térfogatára. Az első
vagy a második integrált a (háromdimenzios) Gauss-tétellel átalakítva,
ahol a jobb oldalon a térfogatot határoló felületre kell integrálni (
,
,
a
a háromdimenziós felületelem vektorösszetevői). Az egyenlőség bal
oldalán a
térfogatban levő energia változási sebessége áll. Ebből látszik,
hogy a jobb oldalon az adott térfogat határán átáramló energiamennyiség jelenik
meg, a
összetevőkből álló vektor az energiaáram-sűrűség (az az energiamennyiség,
amennyi egységnyi felületen egységnyi idő alatt keresztülfolyik). Így arra a fontos
következtetésre jutunk, hogy a relativisztikus invariancia követelménye, amely a
mennyiség tenzor jellegében jut kifejezésre, automatikusan határozott kapcsolathoz
vezet az energiaáram és az impulzus között: az energiaáram-sűrűség az
impulzussűrűség
-szerese.
(32.12) második egyenletéből analóg módon a következőt kapjuk:
A bal oldalon a térfogat impulzusának időegységre jutó megváltozása áll,
ezért
az adott térfogatból időegység alatt kijutó impulzus mennyisége.
Így az energia-impulzus-tenzor
komponensei az impulzusáram-sűrűség
háromdimenziós tenzorát alkotják – ez az ún. feszültségi tenzor; jelöljük
-val (
,
). Az energiaáram sűrűsége vektor; az
impulzus maga vektor, így az impulzusáram sűrűségének tenzornak kell lennie.
(A
komponens az impulzus
-adik összetevőjének az
tengelyre
merőleges felületegységen az időegység alatt átáramló mennyiségét
adja.)
Felírjuk még egyszer az energia-impulzus-tenzor különböző komponenseinek jelentését mutató táblázatot: