ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

Főoldal > TAMOP 4.2.5 Pályázat könyvei

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

Beágyazás

32 §. Az energia-impulzus-tenzor

Az előző szakaszban bevezettük az elektromágneses tér energiakifejezését. Most ezt az erőtér impulzusával együtt négydimenziós alakban írjuk fel. Az egyszerűség kedvéért egyelőre a töltésmentes elektromágneses teret vizsgáljuk. A további alkalmazás lehetőségét (gravitációs teret) és a kifejtés egyszerűségét is szem előtt tartva, a levezetést általánosságban végezzük el, az anyagi rendszer konkretizálása nélkül.

Tekintsünk valamilyen anyagi rendszert, melynek hatásintegrálja

4.44. egyenlet - (32.1)

S = \int Λ (q, \frac{\partial q}{\partial x^{i}}) d V d t = \frac{1}{c} \int Λ d Ω,

ahol a rendszer állapotát meghatározó mennyiségeknek és azok koordináták és idő szerinti deriváltjainak függvénye (elektromágneses térben a mennyiségek a négyespotenciál komponensei); a rövidség kedvéért csak egy változót írunk ki. Megjegyezzük, hogy a ∫ΛdV integrál az anyagi rendszer Lagrange-függvénye, így Lagrange-sűrűségnek tekinthető. Az anyagi rendszer zártságát matematikailag az fejezi ki, hogy nem függ explicit módon -től, hasonlóan ahhoz, hogy zárt mechanikai rendszer Lagrange-függvénye nem függ explicit módon az időtől.

A „mozgásegyenletek” (azaz ha valamilyen térről van szó, a téregyenletek) legkisebb hatás elve szerint variációjával adódnak. Eszerint:

\begin{array}{l} δ S & = \frac{1}{c} \int (\frac{\partial Λ}{\partial q} δ q + \frac{\partial Λ}{\partial q_{, i}} δ q_{, i}) d Ω = \\ = \frac{1}{c} \int [\frac{\partial Λ}{\partial q} δ q + \frac{\partial}{\partial x^{i}} (\frac{\partial Λ}{\partial q_{, i}} δ q) - δ q \frac{\partial}{\partial x^{i}} \frac{\partial Λ}{\partial q_{, i}}] d Ω = 0 . \end{array}

A második tag a Gauss-tétel szerint átalakítható, és a teljes térre való integrálás során eltűnik. Így a következő „mozgásegyenletekre” jutunk:

4.45. egyenlet - (32.2)

\frac{\partial}{\partial x^{i}} \frac{\partial Λ}{\partial q_{, i}} - \frac{\partial Λ}{\partial q} = 0

(a kétszer előforduló indexre természetesen mindenütt összegeznünk kell).

A továbbiakban az eljárás azonos azzal, amit a mechanikában az energiamegmaradás törvényének levezetésekor megismertünk. Eszerint felírjuk, hogy

\frac{\partial Λ}{\partial x^{i}} = \frac{\partial Λ}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial x^{i}} + \frac{\partial Λ}{\partial q_{, k}} \frac{\partial q_{, k}}{\partial x^{i}} .

Behelyettesítve ide (32.2)-t, és észrevéve, hogy q,k,i=q,i,k , következőket kapjuk:

\frac{\partial Λ}{\partial x^{i}} = \frac{\partial}{\partial x^{k}} (\frac{\partial Λ}{\partial q_{, k}}) q_{, i} + \frac{\partial Λ}{\partial q_{, k}} \frac{\partial q_{, i}}{\partial x^{k}} = \frac{\partial}{\partial x^{k}} (q_{, i} \frac{\partial Λ}{\partial q_{, k}}) .

A bal oldalon

\frac{\partial Λ}{\partial x^{i}} = δ_{i}^{k} \frac{\partial Λ}{\partial x^{k}} .

Bevezetve a

4.46. egyenlet - (32.3)

T_{i}^{k} = q_{, i} \frac{\partial Λ}{\partial q, k} - δ_{i}^{k} Λ

jelölést, az egyenletet a

4.47. egyenlet - (32.4)

\frac{T_{i}^{k}}{\partial x^{k}} = 0

alakba írhatjuk. Ha nem egy, hanem több q(l) mennyiségünk van, akkor (32.3) helyett

4.48. egyenlet - (32.5)

T_{i}^{k} = \sum_{i} q_{, i}^{(l)} \frac{\partial Λ}{\partial q_{, k}^{(l)}} - δ^{i k} Λ

érvényes.

A 29. §-ban láttuk, hogy egy ∂Ak∕∂xk=0 egyenlet, azaz egy vektor négyesdivergenciájának zérus volta ekvivalens azzal az állítással, hogy a vektornak a teljes háromdimenziós térfogatot körülzáró hiperfelületre vett ∫AkdSk integrálja megmarad. Nyilvánvaló, hogy azonos állítás érvényes a tenzorokra is: a (32.4) egyenlet ekvivalens azzal, hogy a

P^{i} = c o n s t \int T^{i k} d S_{k}

vektor megmarad. -t a rendszer négyesimpulzusával kell azonosítanunk. Az integrál előtt álló szorzótényezőt úgy választjuk meg, hogy a időszerű komponens a korábbi meghatározásának megfelelően az anyagi rendszer energiájának -szerese legyen.

P^{0} = c o n s t \int T^{0 k} d S_{k} = c o n s t \int T^{00} d V,

ha az integrált az x0=const hipersíkra képezzük. Másrészt (32.3) szerint

T^{00} = \dot{q} \frac{\partial Λ}{\partial \dot{q}} - Λ

(ahol q̇≡∂q∕∂t ). Az energiát a Lagrange-függvénnyel összekötő ismert összefüggésnek megfelelően T00 -t az energiasűrűségnek kell tekintenünk, tehát ∫T00dV a rendszer teljes energiája. Ezért az állandó helyébe 1∕c -t kell írnunk. Így a rendszer négyesimpulzusának végső kifejezése a következő:

4.49. egyenlet - (32.6)

P^{i} = \frac{1}{c} \int T^{i k} d S_{k} .

A Tik tenzort a rendszer energia-impulzus-tenzorának nevezzük.

Meg kell jegyeznünk, hogy a Tik tenzor meghatározása nem egyértelmű. Valóban, ha Tik a (32.3) képlettel meghatározott tenzor, akkor minden más

4.50. egyenlet - (32.7)

T^{i k} + \frac{\partial}{\partial x^{l}} ψ^{i k l}, ψ^{i k l} = - ψ^{i l k}

alakú tenzor kielégíti a (32.4) megmaradási egyenletet, mivel a ψikl tenzor a és indexekben antiszimmetrikus, és így teljesül a (∂2/∂xk∂xl)ψikl=0 azonosság. A rendszer teljes négyesimpulzusa azonban nem változik, mert (6.17) szerint

\int \frac{\partial ψ^{i k l}}{\partial x^{l}} d S_{k} = \frac{1}{2} \int (d S_{k} \frac{\partial ψ^{i k l}}{\partial x^{l}} - d S_{l} \frac{\partial ψ^{i k l}}{\partial x^{k}}) = \frac{1}{2} \int ψ^{i k l} d f_{k l}^{*},

ahol az egyenlőség jobb oldalán az integrált arra a (közönséges) felületre kell képezni, amely körülfogja a bal oldali integrációs tartományt képező hiperfelületet. Ez nyilvánvalóan a háromdimenziós tér végtelen távoli felülete, és mivel a végtelenben a tér is eltűnik, részecskék sincsenek, az integrál értéke zérus. Így az anyagi rendszer négyesimpulzusa egyértelműen meghatározott mennyiség, ahogy annak lennie kell.

A Tik tenzor egyértelmű meghatározásához felhasználhatjuk azt, hogy az impulzusmomentum négyestenzora az

4.51. egyenlet - (32.8)

J^{i k} = \int (x^{i} d P^{k} - x^{k} d P^{i}) = \frac{1}{c} \int (x^{i} T^{k l} - x^{k} T^{i l}) d S_{l}

összefüggésben áll a négyesimpulzussal, azaz a megfelelő sűrűségek között teljesül a szokásos összefüggés.

Könnyen megkaphatjuk, hogy ehhez milyen feltételt kell az energia-impulzus-tenzornak kielégítenie. Az impulzusmomentum megmaradásának törvénye, mint már tudjuk, kifejezhető úgy, hogy Jik (32.8) alakjában az integrandus divergenciája zérus, vagyis

4.52. egyenlet - (32.9)

\frac{\partial}{\partial x^{l}} (x^{i} T^{k l} - x^{k} T^{i l}) = 0 .

Mivel ∂xi∕∂xl=δli és ∂Tkl∕∂xl=0 , ezért

δ_{l}^{i} T^{k l} - δ_{l}^{k} T^{i l} = T^{k i} - T^{i k} = 0,

vagy

4.53. egyenlet - (32.10)

T^{i k} = T^{k i},

azaz az energia-impulzus-tenzornak szimmetrikusnak kell lennie.

Megjegyezzük, hogy a (32.5) képlettel meghatározott Tik tenzor általában nem szimmetrikus, de (32.7) segítségével azzá tehető ψikl megfelelő megválasztásával. A későbbiekben (94. §) látni fogjuk, hogy létezik olyan módszer, amellyel a szimmetrikus Tik tenzor közvetlenül megkapható.

Már előbb szó volt arról, hogy ha (32.6)-ban az integrálást egy x0=const hipersíkra végezzük, akkor alakja a következő:

4.54. egyenlet - (32.11)

P^{i} = \frac{1}{c} \int T^{i 0} d V,

ahol az integrálást a teljes (háromdimenziós) térre kell végezni. térszerű komponensei az anyagi rendszer impulzusának hármasvektorát alkotják, az időszerű komponens pedig az energia -szerese. Ezért az

\frac{1}{c} T^{10}, \frac{1}{c} T^{20}, \frac{1}{c} T^{30}

összetevők által alkotott vektort impulzussűrűségnek, a

W = T^{00}

mennyiséget pedig energiasűrűségnek nevezhetjük.

T i k többi komponense jelentésének kiderítéséhez átírjuk a (32.4) megmaradási egyenletet, szétválasztva benne a tér és idő szerint képzett differenciálhányadosokat:

4.55. egyenlet - (32.12)

\frac{1}{c} \frac{\partial T^{00}}{\partial t} + \frac{\partial T^{0 α}}{\partial x^{α}} = 0, \frac{1}{c} \frac{\partial T^{α 0}}{\partial t} + \frac{\partial T^{α β}}{\partial x^{β}} = 0 .

Integráljuk az egyenleteket a tér valamely térfogatára. Az első

\frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t} \int T^{00} d V + \int \frac{\partial T^{0 α}}{\partial x^{α}} d V = 0

vagy a második integrált a (háromdimenzios) Gauss-tétellel átalakítva,

4.56. egyenlet - (32.13)

\frac{\partial}{\partial t} \int T^{00} d V = - c \oint T^{0 α} d f_{α},

ahol a jobb oldalon a térfogatot határoló felületre kell integrálni ( dfx , dfy , dfz, a a háromdimenziós felületelem vektorösszetevői). Az egyenlőség bal oldalán a térfogatban levő energia változási sebessége áll. Ebből látszik, hogy a jobb oldalon az adott térfogat határán átáramló energiamennyiség jelenik meg, a

c T^{01}, c T^{02}, c T^{03}

összetevőkből álló vektor az energiaáram-sűrűség (az az energiamennyiség, amennyi egységnyi felületen egységnyi idő alatt keresztülfolyik). Így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a relativisztikus invariancia követelménye, amely a Tik mennyiség tenzor jellegében jut kifejezésre, automatikusan határozott kapcsolathoz vezet az energiaáram és az impulzus között: az energiaáram-sűrűség az impulzussűrűség -szerese.

(32.12) második egyenletéből analóg módon a következőt kapjuk:

4.57. egyenlet - (32.14)

\frac{\partial}{\partial t} \int \frac{1}{c} T^{α 0} d V = - \oint T^{α β} d f_{β},

A bal oldalon a térfogat impulzusának időegységre jutó megváltozása áll, ezért ∮Tαβdfβ az adott térfogatból időegység alatt kijutó impulzus mennyisége. Így az energia-impulzus-tenzor Tαβ komponensei az impulzusáram-sűrűség háromdimenziós tenzorát alkotják – ez az ún. feszültségi tenzor; jelöljük σαβ -val (, β=x,y,z ). Az energiaáram sűrűsége vektor; az impulzus maga vektor, így az impulzusáram sűrűségének tenzornak kell lennie. (A σαβ komponens az impulzus -adik összetevőjének az tengelyre merőleges felületegységen az időegység alatt átáramló mennyiségét adja.)