Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

32 §. Az energia-impulzus-tenzor

32 §. Az energia-impulzus-tenzor

Az előző szakaszban bevezettük az elektromágneses tér energiakifejezését. Most ezt az erőtér impulzusával együtt négydimenziós alakban írjuk fel. Az egyszerűség kedvéért egyelőre a töltésmentes elektromágneses teret vizsgáljuk. A további alkalmazás lehetőségét (gravitációs teret) és a kifejtés egyszerűségét is szem előtt tartva, a levezetést általánosságban végezzük el, az anyagi rendszer konkretizálása nélkül.

Tekintsünk valamilyen anyagi rendszert, melynek hatásintegrálja

4.44. egyenlet - (32.1)

S = Λ q , q x i d V d t = 1 c Λ d Ω ,

ahol Λ a rendszer állapotát meghatározó q mennyiségeknek és azok koordináták és idő szerinti deriváltjainak függvénye (elektromágneses térben a q mennyiségek a négyespotenciál komponensei); a rövidség kedvéért csak egy q változót írunk ki. Megjegyezzük, hogy a ∫ΛdV integrál az anyagi rendszer Lagrange-függvénye, így Λ Lagrange-sűrűségnek tekinthető. Az anyagi rendszer zártságát matematikailag az fejezi ki, hogy Λ nem függ explicit módon xi-től, hasonlóan ahhoz, hogy zárt mechanikai rendszer Lagrange-függvénye nem függ explicit módon az időtől.

A „mozgásegyenletek” (azaz ha valamilyen térről van szó, a téregyenletek) legkisebb hatás elve szerint S variációjával adódnak. Eszerint:

δ S = 1 c Λ q δ q + Λ q , i δ q , i d Ω = = 1 c Λ q δ q + x i Λ q , i δ q δ q x i Λ q , i d Ω = 0 .

A második tag a Gauss-tétel szerint átalakítható, és a teljes térre való integrálás során eltűnik. Így a következő „mozgásegyenletekre” jutunk:

4.45. egyenlet - (32.2)

x i Λ q , i Λ q = 0

(a kétszer előforduló i indexre természetesen mindenütt összegeznünk kell).

A továbbiakban az eljárás azonos azzal, amit a mechanikában az energiamegmaradás törvényének levezetésekor megismertünk. Eszerint felírjuk, hogy

Λ x i = Λ q q x i + Λ q , k q , k x i .

Behelyettesítve ide (32.2)-t, és észrevéve, hogy q,k,i=q,i,k, következőket kapjuk:

Λ x i = x k Λ q , k q , i + Λ q , k q , i x k = x k q , i Λ q , k .

A bal oldalon

Λ x i = δ i k Λ x k .

Bevezetve a

4.46. egyenlet - (32.3)

T i k = q , i Λ q , k δ i k Λ

jelölést, az egyenletet a

4.47. egyenlet - (32.4)

T i k x k = 0

alakba írhatjuk. Ha nem egy, hanem több q(l) mennyiségünk van, akkor (32.3) helyett

4.48. egyenlet - (32.5)

T i k = i q , i ( l ) Λ q , k ( l ) δ i k Λ

érvényes.

29. §-ban láttuk, hogy egy ∂Ak∕∂xk=0 egyenlet, azaz egy vektor négyesdivergenciájának zérus volta ekvivalens azzal az állítással, hogy a vektornak a teljes háromdimenziós térfogatot körülzáró hiperfelületre vett ∫AkdSk integrálja megmarad. Nyilvánvaló, hogy azonos állítás érvényes a tenzorokra is: a (32.4) egyenlet ekvivalens azzal, hogy a

P i = c o n s t T i k d S k

vektor megmarad. Pi-t a rendszer négyesimpulzusával kell azonosítanunk. Az integrál előtt álló szorzótényezőt úgy választjuk meg, hogy a P0 időszerű komponens a korábbi meghatározásának megfelelően az anyagi rendszer energiájának c-szerese legyen.

P 0 = c o n s t T 0 k d S k = c o n s t T 0 0 d V ,

ha az integrált az x0=const hipersíkra képezzük. Másrészt (32.3) szerint

T 0 0 = q ̇ Λ q ̇ Λ

(ahol q̇≡∂q∕∂t). Az energiát a Lagrange-függvénnyel összekötő ismert összefüggésnek megfelelően T00-t az energiasűrűségnek kell tekintenünk, tehát ∫T00dV a rendszer teljes energiája. Ezért az állandó helyébe 1∕c-t kell írnunk. Így a rendszer négyesimpulzusának végső kifejezése a következő:

4.49. egyenlet - (32.6)

P i = 1 c T i k d S k .

A Tik tenzort a rendszer energia-impulzus-tenzorának nevezzük.

Meg kell jegyeznünk, hogy a Tik tenzor meghatározása nem egyértelmű. Valóban, ha Tik(32.3) képlettel meghatározott tenzor, akkor minden más

4.50. egyenlet - (32.7)

T i k + x l ψ i k l , ψ i k l = ψ i l k

alakú tenzor kielégíti a (32.4) megmaradási egyenletet, mivel a ψikl tenzor a k és l indexekben antiszimmetrikus, és így teljesül a (∂2/∂xk∂xl)ψikl=0 azonosság. A rendszer teljes négyesimpulzusa azonban nem változik, mert (6.17) szerint

ψiklxldSk=12dSkψiklxldSlψiklxk=12ψikldfkl,

ahol az egyenlőség jobb oldalán az integrált arra a (közönséges) felületre kell képezni, amely körülfogja a bal oldali integrációs tartományt képező hiperfelületet. Ez nyilvánvalóan a háromdimenziós tér végtelen távoli felülete, és mivel a végtelenben a tér is eltűnik, részecskék sincsenek, az integrál értéke zérus. Így az anyagi rendszer négyesimpulzusa egyértelműen meghatározott mennyiség, ahogy annak lennie kell.

A Tik tenzor egyértelmű meghatározásához felhasználhatjuk azt, hogy az impulzusmomentum négyestenzora az

4.51. egyenlet - (32.8)

J i k = ( x i d P k x k d P i ) = 1 c ( x i T k l x k T i l ) d S l

összefüggésben áll a négyesimpulzussal, azaz a megfelelő sűrűségek között teljesül a szokásos összefüggés.

Könnyen megkaphatjuk, hogy ehhez milyen feltételt kell az energia-impulzus-tenzornak kielégítenie. Az impulzusmomentum megmaradásának törvénye, mint már tudjuk, kifejezhető úgy, hogy Jik(32.8) alakjában az integrandus divergenciája zérus, vagyis

4.52. egyenlet - (32.9)

x l ( x i T k l x k T i l ) = 0 .

Mivel ∂xi∕∂xl=δli és ∂Tkl∕∂xl=0, ezért

δliTklδlkTil=TkiTik=0,

vagy

4.53. egyenlet - (32.10)

T i k = T k i ,

azaz az energia-impulzus-tenzornak szimmetrikusnak kell lennie.

Megjegyezzük, hogy a (32.5) képlettel meghatározott Tik tenzor általában nem szimmetrikus, de (32.7) segítségével azzá tehető ψikl megfelelő megválasztásával. A későbbiekben (94. §) látni fogjuk, hogy létezik olyan módszer, amellyel a szimmetrikus Tik tenzor közvetlenül megkapható.

Már előbb szó volt arról, hogy ha (32.6)-ban az integrálást egy x0=const hipersíkra végezzük, akkor Pi alakja a következő:

4.54. egyenlet - (32.11)

P i = 1 c T i 0 d V ,

ahol az integrálást a teljes (háromdimenziós) térre kell végezni. Pi térszerű komponensei az anyagi rendszer impulzusának hármasvektorát alkotják, az időszerű komponens pedig az energia c-szerese. Ezért az

1cT10,1cT20,1cT30

összetevők által alkotott vektort impulzussűrűségnek, a

W=T00

mennyiséget pedig energiasűrűségnek nevezhetjük.

T i k többi komponense jelentésének kiderítéséhez átírjuk a (32.4) megmaradási egyenletet, szétválasztva benne a tér és idő szerint képzett differenciálhányadosokat:

4.55. egyenlet - (32.12)

1 c T 0 0 t + T 0 α x α = 0 , 1 c T α 0 t + T α β x β = 0 .

Integráljuk az egyenleteket a tér valamely V térfogatára. Az első

1ctT00dV+T0αxαdV=0

vagy a második integrált a (háromdimenzios) Gauss-tétellel átalakítva,

4.56. egyenlet - (32.13)

t T 0 0 d V = c T 0 α d f α ,

ahol a jobb oldalon a V térfogatot határoló felületre kell integrálni (dfx, dfy, dfz, a df a háromdimenziós felületelem vektorösszetevői). Az egyenlőség bal oldalán a V térfogatban levő energia változási sebessége áll. Ebből látszik, hogy a jobb oldalon az adott térfogat határán átáramló energiamennyiség jelenik meg, a

cT01,cT02,cT03

összetevőkből álló S vektor az energiaáram-sűrűség (az az energiamennyiség, amennyi egységnyi felületen egységnyi idő alatt keresztülfolyik). Így arra a fontos következtetésre jutunk, hogy a relativisztikus invariancia követelménye, amely a Tik mennyiség tenzor jellegében jut kifejezésre, automatikusan határozott kapcsolathoz vezet az energiaáram és az impulzus között: az energiaáram-sűrűség az impulzussűrűség c2-szerese.

(32.12) második egyenletéből analóg módon a következőt kapjuk:

4.57. egyenlet - (32.14)

t 1 c T α 0 d V = T α β d f β ,

A bal oldalon a V térfogat impulzusának időegységre jutó megváltozása áll, ezért ∮Tαβdfβ az adott térfogatból időegység alatt kijutó impulzus mennyisége. Így az energia-impulzus-tenzor Tαβ komponensei az impulzusáram-sűrűség háromdimenziós tenzorát alkotják – ez az ún. feszültségi tenzor; jelöljük σαβ-val (α, β=x,y,z). Az energiaáram sűrűsége vektor; az impulzus maga vektor, így az impulzusáram sűrűségének tenzornak kell lennie. (A σαβ komponens az impulzus α-adik összetevőjének az xβ tengelyre merőleges felületegységen az időegység alatt átáramló mennyiségét adja.)

Felírjuk még egyszer az energia-impulzus-tenzor különböző komponenseinek jelentését mutató táblázatot:

4.58. egyenlet - (32.15)

T i k = W S x c S y c S z c S x c σ x x σ x y σ x z S y c σ y x σ y y σ y z S z c σ z x σ z y σ z z .