Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

25 §. Az erőtér invariáns mennyiségei

25 §. Az erőtér invariáns mennyiségei

Az elektromos és a mágneses térerősségvektorok komponenseiből invariáns mennyiségek képezhetők, melyek az egyik inerciarendszerből a másikba való áttérés során nem változnak.

Az invariánsok alakja, kiindulva az Fik antiszimmetrikus négyestenzorból, könnyen megtalálható. Nyilvánvaló, hogy a tenzorkomponensekből a következő invariáns mennyiségek képezhetők:

3.70. egyenlet - (25.1)

F i k F i k = i n v ,

3.71. egyenlet - (25.2)

e i k l m F i k F l m = i n v ,

ahol eiklm a teljesen antiszimmetrikus egységtenzor (lásd a  6. §-t). Az első skalár-, a második pszeudoskalár mennyiség (Fik-nak és duálisának szorzata).[29]

F i k komponenseit E és H komponenseivel kifejezve, könnyen meggyőződhetünk arról, hogy az invariánsok háromdimenziós alakja a következő:

3.72. egyenlet - (25.3)

H 2 E 2 = i n v ,

3.73. egyenlet - (25.4)

E H = i n v .

A második nyilvánvalóan pszeudoskalár, mivel az az E poláris vektor és a H axiális vektor skalárszorzata. [Az (EH)2 kifejezés már valódi skalár.]

A két kifejezés invarianciájából levonhatunk bizonyos következtetéseket. Ha valamilyen vonatkoztatási rendszerben az elektromos és a mágneses tér merőleges egymásra, azaz EH=0, akkor minden más inerciarendszerben is merőlegesek lesznek. Ha valamilyen rendszerben E és H abszolút értéke egyenlő, akkor ez minden más rendszerben is igaz.

Egyenlőtlenségeket is felírhatunk. Ha valamilyen rendszerben E>H (vagy E<H), akkor ez minden más rendszerben is fennáll. Ha valamilyen rendszerben az E és H vektorok hegyes (vagy tompa) szöget zárnak be, akkor hegyes (vagy tompa) szöget zárnak be minden más rendszerben is.

Lorentz-transzformációval E és H tetszőleges értéke elérhető azzal a feltétellel, hogy E2–H2-nek és EH-nak meghatározott értéket kell felvenniük. Így például található olyan vonatkoztatási rendszer, amelyben az elektromos és a mágneses tér egy adott pontban párhuzamos egymással. Ebben EH=EH; az

E 2 H 2 = E 0 2 H 0 2 , E H = E 0 H 0

egyenletekből E és H meghatározható (E0 és H0 az elektromos és a mágneses térerősség a kiindulási rendszerben).

Kivételt képez az az eset, mikor mindkét invariáns értéke zérus. Ekkor E és H minden rendszerben azonos abszolút értékűek, és merőlegesek egymásra.

Ha csak EH=0, akkor található olyan vonatkoztatási rendszer, melyben E=0 vagy H=0 (aszerint, hogy E2–H2 negatív vagy pozitív), azaz az erőtér (mező) tisztán mágneses vagy tisztán elektromos. Fordítva, ha valamilyen rendszerben E=0 vagy H=0, akkor minden más rendszerben merőlegesek egymásra, az előző szakasz végén mondottaknak megfelelően.

Megbeszéljük még az antiszimmetrikus négyestenzor invariánsai vizsgálatának egy más módját. Ez a módszer nyilvánvalóvá teszi a (25.3) és (25.4) két független invariáns egyértelműségét, és ugyanakkor rámutat a Lorentz-transzformáció négyestenzorokra való alkalmazásának néhány tanulságos matematikai sajátságára.

Tekintsük az

3.74. egyenlet - (25.5)

F = E + i H

komplex vektort. A (24.2) és (24.3) képleteket használva, könnyen látható, hogy a Lorentz-transzformáció hatása a vektorra a következő:

3.75. egyenlet - (25.6)

F x = F x , F y = F y ch φ i F z sh φ = F y cos i φ F z sin i φ , F z = F z cos i φ + F y sin i φ , ahol th φ = V c .

Látjuk, hogy a négyestér xt síkjában való forgatás (amely éppen a vizsgált Lorentz-transzformáció) az F vektorra nézve a háromdimenziós tér yz síkjában képzetes szöggel való elforgatással ekvivalens. A lehetséges négyestérbeli forgatások összessége (beleértve az x,y,z tengely körüli egyszerű forgatásokat is) a háromdimenziós térben végzett komplex szögű forgatások összességével ekvivalens (a négyestérbeli hat elforgatási szögnek a háromdimenziós forgások hat komplex szöge felel meg).

A forgatásokkal szemben egyetlen vektorinvariáns kifejezés a vektor négyzete: F2=E2–H2+2iEH. Ezért az E2–H2 és EH valós mennyiségek képezik az Fik tenzor invariánsait.

Ha F2≠0, akkor F előállítható F=an alakban, ahol n komplex egységvektor (n2=1). Megfelelő komplex forgatással n beállítható valamelyik koordinátatengely irányába; ekkor n nyilván valós lesz, és meghatározza a két vektor, E és H irányát: F=(E+iH)n. Más szavakkal a forgatás eredményeként E és H párhuzamos lesz egymással.

Feladat

Határozzuk meg annak a vonatkoztatási rendszernek sebességét, amelyben az elektromos és mágneses térerősség párhuzamos egymással.

Megoldás. Végtelen sok, a feladat feltételét kielégítő K′ vonatkoztatási rendszer létezik: ha egy ilyen ismert, akkor rendelkezik ezzel a tulajdonsággal tetszőleges más olyan rendszer is, amely az elsőhöz képest E és H közös irányába mutató sebességgel mozog. Ezért elegendő meghatározni azt a rendszert, amelynek sebessége a két térerősség irányára merőleges. Legyen a sebesség iránya az x tengely, felhasználva azt, hogy a K′ rendszerben Ex′=Hx′=0, Ey′Hz′–Ez′Hy′=0, a (24.2) és (24.3) képletek segítségével a rendszernek a kiindulási rendszerhez viszonyított V sebességére a következő kifejezést kapjuk:

V c 1 + V 2 c 2 = E × H E 2 + H 2

(a másodfokú egyenletnek természetesen azt a gyökét kell választani, amelyik c-nél kisebb).



[29] Megjegyezzük, hogy a (25.2) pszeudoskalár négyesdivergencia formájában is előállítható: eiklmFikFlm=4(∂/∂xi)(eiklmAk(∂/∂xi)Am), ez könnyen igazolható, ha figyelembe vesszük, hogy eiklm antiszimmetrikus.