Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

22 §. Töltés mozgása homogén sztatikus elektromos és mágneses térben

22 §. Töltés mozgása homogén sztatikus elektromos és mágneses térben

Végül vizsgáljuk a töltés mozgását egyidejűleg jelen levő homogén, állandó elektromos és mágneses térben. Csak a nemrelativisztikus esetre szorítkozunk, amikor a töltés sebessége v≪c, és ezért impulzusa p=mv. (Látni fogjuk, ehhez szükséges, hogy az elektromos térerősség a mágneseshez képest kicsi legyen.)

H-t z tengely irányúnak választjuk, a H és E vektorok az yz síkot feszítsék ki. Az

m v ̇ = e E + e c v × H

mozgásegyenletek alakja ekkor a következő:

m = e c H ,

3.44. egyenlet - (22.1)

m ÿ = e E y e c H ,

m z ̈ = e E z .

A harmadik egyenletből látható, hogy a töltés a z tengely mentén egyenletes gyorsulással mozog:

3.45. egyenlet - (22.2)

z = e E z 2 m t 2 + v 0 z t .

(22.1) második egyenletét i-vel szorozva és az elsőhöz adva, kapjuk, hogy

d d t ( + i ) + i ω ( + i ) = i e m E y

(ω=eH∕mc). Az egyenlet általános megoldása (ẋ+iẏ-ra mint változóra) a homogén egyenlet általános és az inhomogén egyenlet egyik partikuláris megoldásának összege. Az előbbi: ae–iωt, az utóbbi: eEy∕mω=cEy∕H. Így

+ i = a e i ω t + c E y H .

Az a állandó általában komplex. Írjuk fel a=beiα alakban, ahol b és α valós. Mivel a szorzótényezője e–iωt, ezért a t=0 kezdeti időpont megfelelő választásával az α fázisnak tetszőleges értéket adhatunk. Válasszuk α-t úgy, hogy a valós legyen. Ekkor ẋ+iẏ valós és képzetes részét szétválasztva:

3.46. egyenlet - (22.3)

= a cos ω t + c E y H , = a sin ω t

adódik. A t=0 időpillanatban a sebesség az x tengely irányába mutat. Látható, hogy a sebességkomponensek az idő periodikus függvényei; átlagértékeik:

¯ = c E y H , ¯ = 0 .

Egymásra merőleges elektromos és mágneses térben mozgó töltésnek ezt az átlagsebességét szokás elektromos driftsebességnek nevezni. Iránya merőleges mindkét térerősség irányára, és a töltés előjelétől független. Vektoriális alakban is felírható:

3.47. egyenlet - (22.4)

v ¯ = c E × H H 2 .

E szakaszban levezetett képletek akkor érvényesek, ha a részecske sebessége a fénysebességhez képest kicsi. Látható: ez megköveteli, hogy az elektromos és mágneses térerősség kielégítse az

3.48. egyenlet - (22.5)

E y H 1

feltételt, Ey és H nagysága egyébként tetszőleges.

(22.3) egyenleteket még egyszer integrálva és az integrációs állandókat úgy választva, hogy t=0-ban x=y=0 legyen, a következő eredményt kapjuk:

3.49. egyenlet - (22.6)

x = a ω sin ω t + c E y H t , y = a ω ( cos ω t 1 ) .

Ezek az ún. trochoid paraméteres egyenletei. Attól függően, hogy a abszolút értéke nagyobb vagy kisebb cEy∕H abszolút értékénél, a részecske pályájának az xy síkra való vetülete a 6a vagy 6b ábrán látható.

6. ábra - 6. ábra

6. ábra

Ha a=–cEy∕H, akkor (22.6) az

3.50. egyenlet - (22.7)

x = c E y ω H ( ω t sin ω t ) , y = c E y ω H ( 1 cos ω t )

egyenletekbe megy át, a pálya xy síkra való vetülete ciklois (6c ábra).

Feladatok

1. Írjuk le töltött részecske relativisztikus mozgását egymással párhuzamos elektromos és mágneses térben.

Megoldás. A mágneses tér nem befolyásolja az E és H irányában (z tengely) végbemenő mozgást, ezt az elektromos tér határozza meg. A  20. § szerint írhatjuk, hogy

z = kin e E , kin = 0 2 + ( c e E t ) 2 .

Az xy síkban történő mozgás egyenletei:

x = e c H v y , y = e c H v x ,

vagy másképp:

d d t ( p x + i p y ) = i e H c ( v x + i v y ) = i e H c kin ( p x + i p y ) .

Ebből

p x + i p y = p t e i φ ,

ahol pt az impulzus xy síkba eső állandó nagyságú vetülete. A φ segédmennyiségre a

d φ = e H c d t kin

egyenlet érvényes, amiből

3.51. egyenlet - (1)

c t = 0 e E sh E H φ .

Így tehát

px+ipy=pteiφ=kinc2(+i)=eHcd(x+iy)dφ,

ahonnan

3.52. egyenlet - (2)

x = c p t e H sin φ , y = c p t e H cos φ .

Az (1) és (2) képlet, valamint a

3.53. egyenlet - (3)

z = 0 e E ch E H φ .

adják a részecske pályájának paraméteres egyenleteit. A pálya cpt∕eH sugarú és monoton növekvő menetemelkedésű csavarvonal, melyen a részecske φ̇=eHc∕ℰkin csökkenő szögsebességgel mozog, a z tengely menti sebesség pedig c-hez tart.

2. Írjuk le töltött részecske relativisztikus mozgását egymásra merőleges, egyenlő nagyságú elektromos és mágneses térben.[28]

Megoldás. Ha H a z tengely, E az y tengely irányába mutat, és E=H, a mozgásegyenletek alakja a következő:

d p x d t = e c E v y , d p y d t = e E 1 v x c , d p z d t = 0

Ezek következménye a (17.7) egyenlet:

d kin d t = e E v y .

A fentiekből

p z = c o n s t , kin c p x = c o n s t α .

Felhasználva az

kin 2 c 2 p x 2 = ( kin + c p x ) ( kin c p x ) = c 2 p y 2 + 𝜀 2

egyenlőséget (ahol 𝜀2=m2c4+c2pz2=const), kapjuk, hogy

kin + c p x = 1 α ( c 2 p y 2 + 𝜀 2 ) ,

majd ezután

kin = α 2 + c 2 p y 2 + 𝜀 2 2 α , p x = α 2 c + c 2 p y 2 + 𝜀 2 2 α c .

Írhatjuk tovább, hogy

kin d p y d t = e E kin kin v x c = e E ( kin c p x ) = e E α ,

amiből

3.54. egyenlet - (1)

2 e E t = 1 + 𝜀 2 α 2 p y + c 2 3 α 2 p y 2 .

A pálya meghatározásához a

d x d t = c 2 p x kin ,

egyenletekben dt=ℰkindpy∕eEα szerint a py változóra térünk át. Integrálás után a következő összefüggéseket kapjuk:

3.55. egyenlet - (2)

x = c 2 e E 1 + 𝜀 2 α 2 p y + c 3 6 α 2 e E p y 3 ,

y = c 2 2 α e E p y 2 , z = p z c 2 e E α p y .

Az (1) és (2) képletek teljesen meghatározzák a részecske pályáját paraméteres alakban (a paraméter py). Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a sebesség leggyorsabban az E-re és H-ra merőleges irányban növekszik.

3. Határozzuk meg nemrelativisztikus töltött részecske pályája vezércentrumának driftsebességét kvázihomogén és állandó mágneses térben (H. Alfven, 1940).

Megoldás. Indulásként feltételezzük, hogy a részecske körpályán mozog, azaz sebességének nincs longitudinális (térerősséggel párhuzamos) összetevője. A pályagörbe egyenletét r=R(t)+ζ(t) alakban keressük, ahol R(t) a vezércentrum (időben lassan változó) helyvektora, ζ(t) pedig a vezércentrum körül végzett forgómozgást leíró, gyorsan oszcilláló mennyiség. Átlagoljuk a részecskére ható (e/c)(ṙ×H(ṙ)) erőt az oszcilláló (kör-) mozgás egy periódusára (lásd az I. kötet 30. §-át). A benne szereplő H(r) függvényt ζ hatványai szerint sorbafejtjük:

H ( r ) = H ( R ) + ( ζ ) H ( R ) .

Az átlagolásnál az oszcilláló ζ(t) mennyiségben elsőrendű tagok eltűnnek, a másodrendű tagok az erőhöz az

f = e c ζ ̇ ( ζ ) ¯ × H

kiegészítő tagot adják. Körmozgásra

ζ ̇ = ω ( ζ × n ) , ζ = v ω ,

ahol n a H irányába mutató egységvektor; a frekvencia ω=eH∕mc; v⊥ a részecske kerületi sebessége. Az n-re merőleges síkban forgó ζ vektor komponensei szorzatának átlagértéke:

ζ α ζ β ¯ = 1 2 ζ 2 δ α β ,

ahol δαβ a síkbeli egységtenzor. Eredményként a következőt kapjuk:

f = m v 2 H ( n × ) × H .

H(R) állandó térerősség kielégíti a divH=0, rotH=0 egyenleteket, ezért

( n × ) × H = n div H + ( n ) H + n rot H = ( n ) H = H ( n ) n + n ( n H ) .

Bennünket az n-hez képest transzverzális erő érdekel, ennek hatására tolódik el a pálya;

f = m v 2 2 ( n ) n = m v 2 ϱ ν ,

ahol ϱ a mágneses erővonalak görbületi sugara adott pontban, ν pedig a görbületi középpontból az adott pont felé mutató egységvektor.

Ha a részecskének v∥ longitudinális (n irányú) sebessége is van, akkor áttérve arra a vonatkoztatási rendszerre, amely az erővonal (a vezércentrum trajektóriája) pillanatnyi görbületi középpontja körül v∥∕ϱ szögsebességgel mozog, az előző esetre jutunk. Ebben a rendszerben a részecskének nincs longitudinális sebessége, viszont az előző transzverzális erőhöz hozzájárul még a νmv∥2∕ϱ centrifugális erő. A teljes transzverzális erő:

f = ν m ϱ v 2 + v 2 2 .

Ez az erő f⊥∕e nagyságú állandó elektromos térrel ekvivalens. Így a pálya vezércentrumának driftsebessége (22.4) szerint:

v d = 1 ω ϱ v 2 + v 2 2 ν × n .

A sebesség előjele a töltés előjelétől függ.



[28] Egymásra merőleges különböző nagyságú E és H erőtérben való mozgás megfelelő Lorentz-transzformációval visszavezethető tiszta elektromos vagy mágneses térben történő mozgásra (lásd a 25. §-t).