Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

21 §. Mozgás homogén magnetosztatikus térben

21 §. Mozgás homogén magnetosztatikus térben

Vizsgáljuk az e töltés mozgását homogén mágneses térben. A H térerősség legyen z irányú. A

= e c v × H

mozgásegyenletet más alakban írjuk fel: az impulzus helyébe a

p = v c 2 ,

kifejezést helyettesítjük, ahol ℰ a részecske energiája, ez mágneses térben állandó. Így a mozgásegyenletek alakja:

3.34. egyenlet - (21.1)

c 2 d v d t = e c ( v × H ) ,

vagy komponensekben kifejezve:

3.35. egyenlet - (21.2)

v ̇ x = w v y , v ̇ y = w v x , v ̇ z = 0 ;

bevezettük az

3.36. egyenlet - (21.3)

w = e c H

jelölést.

(21.2) második egyenletét i-vel szorozzuk, és hozzáadjuk az elsőhöz:

d d t ( v x + i v y ) = i w ( v x + i v y ) ,

amiből

v x + i v y = a e i ω t ,

itt az a állandó komplex szám felírható a=v0te–iα alakban, ahol v0t és α valósak. Ekkor

v x + i v y = v 0 t e i ( ω t + α ) .

A valós és képzetes részt szétválasztva,

3.37. egyenlet - (21.4)

v x = v 0 t cos ( ω t + α ) , v y = v 0 t sin ( ω t + α ) .

A v0t és α állandókat a kezdeti feltételekből lehet meghatározni. α a kezdeti fázis; (21.4)-ből látható, hogy

v0t=vx2+vy2,

tehát v0t a részecske sebessége az xy síkban, ez a mozgás folyamán nem változik. (21.4)-ből integrálással kapjuk, hogy

3.38. egyenlet - (21.5)

x = x 0 + r sin ( ω t + α ) , y = y 0 + r cos ( ω t + α ) ,

ahol

3.39. egyenlet - (21.6)

r = v 0 t ω = v 0 t e c H = c p t e H

(pt az impulzus vetülete az xy síkra). (21.2) harmadik egyenletéből vz=v0z, és

3.40. egyenlet - (21.7)

z = z 0 + v 0 z t .

(21.5)-ből és (21.7)-ből látható, hogy a töltés homogén mágneses térben csavarvonalon mozog, amelynek tengelye a mágneses térerősség irányába mutat, sugarát (21.6) adja meg. A részecske sebességének nagysága állandó. Speciális esetben, amikor v0z=0, azaz a töltés sebességének a térerősség irányába mutató összetevője zérus, a töltés a térerősségre merőleges síkban körmozgást végez.

Az ω mennyiség, amint az a képletekből látható, a térerősségre merőleges síkbeli forgás körfrekvenciája.

Ha a részecske sebessége kicsi, közelítőleg ℰ=mc2 írható. A frekvencia ekkor:

3.41. egyenlet - (21.8)

ω = e H m c .

Tegyük fel, hogy a mágneses térerősség nagysága és iránya lassan változik, de homogén marad. Kérdés, hogyan változik ekkor a töltött részecske mozgása.

Mint ismeretes, a mozgás feltételeinek lassú változásakor állandóak maradnak az ún. adiabatikus invariánsok. Mivel a mozgás a mágneses térre merőleges, síkban periodikus, ezért adiabatikus invariáns a mozgás egy teljes periódusára, az adott esetben a körre vett I=(1/2π)∮Ptdr integrál (Pt az általános impulzus vetülete az említett síkra).[27]Pt=pt+(e/c)A helyettesítésével:

I = 1 2 π P t d r = 1 2 π p t d r + e 2 π c A d r .

Az első tagban pt abszolút értéke állandó, iránya dr-ével azonos. A másodikban a Stokes-tételt használjuk, és a rotA=H helyettesítést végezzük:

I = r p t + e 2 c H r 2 ,

ahol r a pálya sugara. Az egyenlőségbe r-nek (21.6)-ban megismert alakját helyettesítjük:

3.42. egyenlet - (21.9)

I = 3 c p t 2 2 e H .

Látható, hogy H lassú változásakor a pt transzverzális impulzus √H-val arányosan változik.

Az eredmény más esetben is alkalmazható, amikor a részecske csavarvonalon mozog állandó, de nem teljesen homogén mágneses térben (a térerősség keveset változik a csavarvonal sugarával és emelkedésével azonos nagyságrendű szakaszokon). Az ilyen mozgást úgy tekinthetjük, mint egy idő folyamán elmozduló körpályán történő mozgást. Az időben változó térerő homogén. Ekkor azt mondhatjuk, hogy a térerősségre merőleges impulzuskomponens a pt=√(CH) képlet szerint változik, ahol C állandó, H pedig a koordináták adott függvénye. Állandó mágneses térben a részecske energiája (és ezzel együtt impulzusának négyzete) természetesen állandó. Ezért a longitudinális impulzuskomponens a

3.43. egyenlet - (21.10)

p l 2 = p 2 p t 2 = p 2 C H ( x , y , z )

törvény szerint változik.

p l 2≥0 mindig teljesül. Innen látszik, hogy elegendően erős mágneses térbe (CH>p2) a részecske nem hatolhat be. A növekvő térerősség irányába mozogva, a csavarvonal sugara pt∕H-val (azaz 1∕√H-val) arányosan csökken, emelkedése pedig pl-lel arányos. Arról a határfelületről, ahol pl eltűnik, a részecske visszaverődik: a forgást az előző irányban folytatva, a térgradienssel ellentétes irányban kezd mozogni.

A térerősség inhomogenitása mást is eredményez: a részecske csavarvonalának vezércentruma (a körpálya középpontját nevezzük most így) lassan transzverzálisan elmozdul; ezt a „drift” jelenséget a következő szakasz 3. feladata tárgyalja.

Feladat

Határozzuk meg az állandó, homogén mágneses térben mozgó, töltött, térbeli oszcillátor frekvenciáját! Az oszcillátor sajátfrekvenciája (mágneses tér nélkül) ω0.

Megoldás.z irányú mágneses térben levő oszcillátor kényszerrezgését leíró egyenletek alakja a következő:

+ ω 0 2 x = e H m c , ÿ + ω 0 2 y = e H m c , z ̈ + ω 0 2 z = 0 .

A második egyenletet i-vel szorozva és az elsőhöz adva, kapjuk, hogy

ξ ̈ + ω 0 2 ξ = i e H m c ξ ̇ ,

ahol ξ=x+iy. Innen az oszcillátor rezgéseinek frekvenciái a térerősségre merőleges síkban:

ω = ω 0 2 + 1 4 e H m c ± e H 2 m c .

Ha H kicsi, akkor a fenti képlet

ω = ω 0 ± e H 2 m c .

alakba megy át. A térerősség iránya mentén történő rezgések nem változnak.



[27] Lásd az I. kötet 49. §-át. Általában adiabatikus invariánsok a ∮pdq integrálok az adott q koordináta egy periódusnyi változására véve. A vizsgált esetben két koordináta periódusa – a H-ra merőleges síkban – egybeesik, az I integrál a két megfelelő adiabatikus invariáns összege. A két integrálnak azonban külön-külön nincs értelme, mivel mindkettő függ az erőtér vektorpotenciáljának megválasztásától, ami nem egyértelmű. Az adiabatikus invariánsok nem egyértelmű volta azt a tényt tükrözi, hogy az egész térben homogén mágneses erőteret vizsgálva, elvileg lehetetlen meghatározni a H változása következtében keletkező elektromos erőteret, amely a valóságban a konkrét végtelenbeli határfeltételektől függ.