Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

16 §. Az erőtér négyespotenciálja

16 §. Az erőtér négyespotenciálja

Adott elektromágneses térben mozgó részecskére nézve a hatás két részből tevődik össze: a szabad részecskére vonatkozó (8.1) hatásból, valamint a részecske és az erőtér (mező) kölcsönhatását leíró tagból. Ez utóbbinak tartalmaznia kell mind a részecskére, mind az erőtérre jellemző mennyiségeket.

A tapasztalat szerint [22] a részecskének az elektromágneses térrel való kölcsönhatásával kapcsolatos tulajdonságait egyetlen paraméter, a részecske etöltése határozza meg. Ez egyaránt lehet pozitív és negatív (vagy zérus) mennyiség. Az erőtér tulajdonságait az Ai négyesvektor, az ún. négyespotenciál jellemzi, melynek komponensei a koordináták és az idő függvényei. E mennyiségek a hatásfüggvényben

e c a b A i d x i

alakú tag formájában szerepelnek, ahol az Ai függvényeket a részecske világvonalának pontjaiban kell venni. Az 1∕c tényezőt kényelmi szempontból vezettük be. Megjegyezzük, hogy mindaddig, amíg semmilyen összefüggés nem köti a töltést vagy a potenciált már ismert mennyiségekhez, egységeiket tetszőleges módon választhatjuk.[23]

Az elektromágneses térben levő töltés hatásfüggvénye így a következő alakú:

3.1. egyenlet - (16.1)

S = a b m c d s e c A i d x i .

Az Ai négyesvektor három térkomponense által alkotott háromdimenziós A vektort a tér vektorpotenciáljának nevezzük. Az időszerű komponens neve: skalárpotenciál; erre az A0=φ jelölést használjuk. Így

3.2. egyenlet - (16.2)

A i = ( φ , A ) .

amivel a hatásintegrál az

S=abmcds+ecAdreφdt.

alakban írható. Bevezetve a részecske v=dr∕dt sebességét, és áttérve idő szerinti integrálásra:

3.3. egyenlet - (16.3)

S = t 1 t 2 m c 2 1 v 2 c 2 + e c A v e φ d t .

Az integrál alatt álló kifejezés az elektromágneses térben mozgó töltés Lagrange-függvénye:

3.4. egyenlet - (16.4)

L = m c 2 1 v 2 c 2 + e c A v e φ .

E kifejezés a szabad részecske (8.2) Lagrange-függvényétől az (e/c)Av–eφ tagban különbözik, amely a töltés és az erőtér kölcsönhatását írja le.

∂L∕∂v differenciálhányados a részecske általános impulzusa ; jelöljük P-vel. A differenciálást elvégezve azt kapjuk, hogy

3.5. egyenlet - (16.5)

P = m v 1 v 2 c 2 + e c A = p + e c A .

p-vel jelöltük a részecske hármasimpulzusát, ezt egyszerűen impulzusnak fogjuk nevezni.

A Lagrange-függvényből az ismert általános összefüggés szerint megalkothatjuk a térben mozgó részecske Hamilton-függvényét:

= v L v L .

Behelyettesítve ide (16.4)-et:

3.6. egyenlet - (16.6)

= m c 2 1 v 2 c 2 + e φ .

A Hamilton-függvényt azonban a sebesség helyett a részecske általános impulzusával kell kifejeznünk.

(16.5) és (16.6) képletekből látható, hogy ℋ–eφ és P–(e/c)A között ugyanaz az összefüggés áll fenn, mint ℋés p között abban az esetben, ha nincs erőtér, azaz

3.7. egyenlet - (16.7)

e φ c 2 = m 2 c 2 + P e c A 2 ,

vagy másképp:

3.8. egyenlet - (16.8)

= m 2 c 4 + c 2 P e c A 2 + e φ .

Kis sebességeknél (azaz a klasszikus mechanikában) a (16.4) Lagrange-függvény az

3.9. egyenlet - (16.9)

L = m v 2 2 + e c A v e φ

alakba megy át. Ebben a közelítésben:

p=mv=PecA,

és a Hamilton-függvényre a következő kifejezést kapjuk:

3.10. egyenlet - (16.10)

= 1 2 m P e c A 2 + e φ .

Végül felírjuk az elektromágneses térben mozgó részecske Hamilton–Jacobi-egyenletét. Ezt úgy kapjuk, hogy a Hamilton-függvényben a P általános impulzust ∂S∕∂r-rel, ℋ-t pedig –∂S∕∂t-vel helyettesítjük. Így (16.7)-ből a következő egyenletet nyerjük:

3.11. egyenlet - (16.11)

grad S e c A 2 1 c 2 S t + e φ 2 + m 2 c 2 = 0 .



[22] A most következő állításokat nagyrészt úgy kell tekinteni, mint tapasztalati eredményeket. Az elektromágneses térben mozgó részecske hatásfüggvénye nem alkotható meg egyetlen olyan általános meggondolásból, mint a relativisztikus invariancia követelménye [az utóbbit kielégítené például a (16.1) képletben egy ∫Ads alakú tag is, ahol A skalárfüggvény.]

A félreértések elkerülése végett emlékeztetünk arra, hogy klasszikus (nem kvantumos) elméletről van szó, és ezért a részecskék spinjével kapcsolatos jelenségeket sehol nem kell figyelembe vennünk.

[23] Az egységek bevezetésére nézve lásd a  27. §-t.