Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

14 §. Impulzusmomentum

14 §. Impulzusmomentum

Mint a klasszikus mechanikából ismeretes, zárt rendszer esetén az energián és impulzuson kívül megmarad a

J = r × p

impulzusmomentum-vektor is. (r a részecske helyzetvektora, p az impulzusa; az összegezést a rendszert alkotó összes részecskére kell elvégezni.) Az impulzusmomentum megmaradása abból következik, hogy egy zárt rendszer Lagrange-függvénye (a tér izotropiája miatt) nem változik a rendszer egészének az elforgatása során.

Hasonló levezetést elvégezve a négydimenziós térben, megkapjuk az impulzusmomentum relativisztikus kifejezését. Jelölje xi a rendszer egyik részecskéjének koordinátáit. Hajtsunk végre a négydimenziós térben egy infinitezimális elforgatást, melynek során az xi és az új x′i koordináták x′i–xi különbségei lineáris

2.61. egyenlet - (14.1)

x i x i = x k δ Ω i k

függvények lesznek infinitezimálisan kicsi δΩik együtthatókkal. A δΩik négyestenzor komponensei nem függetlenek, mert megköveteljük, hogy forgatásoknál a négyeshelyzetvektor hossza változatlan maradjon, tehát az xi′x′i=xixi egyenlőség fennálljon. Ide x′i(14.1)-ből adódó kifejezését behelyettesítve, és a δΩik-ban kvadratikus tagokat mint végtelen kicsiny számokból képzett magasabb rendű mennyiségeket elhagyva, azt kapjuk, hogy

xixkδΩik=0.

Ennek az egyenlőségnek tetszőleges xi-kre teljesülnie kell. Minthogy xixk szimmetrikus tenzor, a δΩik együtthatók szükségképpen antiszimmetrikus tenzort alkotnak. (Egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus tenzor szorzata nyilvánvalóan azonosan nulla.) Tehát

2.62. egyenlet - (14.2)

δ Ω k i = δ Ω i k .

Az S hatás δS megváltozása a koordináták infinitezimálisan kis megváltoztatása esetén [(9.11) szerint] az alábbi alakú:

δ S = p i δ x i .

(Az összegezést a rendszer valamennyi részecskéjére ki kell terjeszteni.) Az általunk vizsgált elforgatások esetén δxi=δΩikxk, tehát

δ S = δ Ω i k p i x k .

Ha a ∑pixk tenzort egy szimmetrikus és egy antiszimmetrikus részre bontjuk fel, az antiszimmetrikus tenzorral való szorzáskor az első tag azonosan zérust ad. Ezért, leválasztva ∑pixk-ból az antiszimmetrikus részt, a fenti egyenlőség

2.63. egyenlet - (14.3)

δ S = δ Ω i k 1 2 ( p i x k p k x i ) .

alakba írható.

Zárt rendszer esetén (a téridő izotropiája miatt) a négyestérben való forgatásokkal a Lagrange-függvény nem változik, azaz e forgatás δΩik paraméterei ciklikus koordináták. A nekik megfelelő általános impulzusok tehát megmaradnak. Ezek az impulzusok a ∂S∕∂Ωik mennyiségek. (14.3)-ból kapjuk, hogy

S Ω i k = 1 2 ( p i x k p k x i ) .

Látjuk tehát, hogy zárt rendszerek esetén a Jik tenor megmarad:

2.64. egyenlet - (14.4)

J i k = ( x i p k x k p i ) .

Ezt az antiszimmetrikus tenzort az impulzusmomentum négyestenzorának nevezzük.

Az impulzusmomentum-tenzor térszerű komponensei megegyeznek az impulzusmomentum háromdimenziós J=∑r×p vektorának komponenseivel:

J 2 3 = J x , J 1 3 = J y , J 1 2 = J z .

J01,J02,J03 komponensek ugyanakkor a ∑(tp–ℰr∕c2) vektort alkotják. A Jik tenzor komponenseit tehát az

2.65. egyenlet - (14.5)

J i k = t p r c 2 , J

alakban adhatjuk meg [lásd (6.10)-et].

Abból, hogy Jik zárt rendszerre megmarad, következik például, hogy

t p r c 2 = const.

Minthogy másrészről a ∑ℰösszenergia is megmarad, ez az egyenlőség a következő alakba írható:

r t c 2 p = const.

Ebből adódik, hogy az

2.66. egyenlet - (14.6)

R = r

helyzetvektorú pont

2.67. egyenlet - (14.7)

V = c 2 p

állandó sebességgel egyenletesen mozog. A V sebesség a rendszer egészének [(9.8) szerint a rendszer összimpulzusának és energiájának megfelelő] mozgási sebessége. A (14.6) képlet adja a rendszer tömegközéppontjának relativisztikus definícióját. Ha az összes részecske sebessége kicsi c-hez képest, akkor közelítőleg ℰ≈mc2-et írhatunk, és (14.6) átmegy a közönséges klasszikus kifejezésbe:[18]

R = m r m .

Vegyük észre, hogy a (14.6) vektor komponensei nem felelnek meg egy négyesvektor térkomponenseinek, ezért a vonatkoztatási rendszer transzformációja során R komponensei nem úgy transzformálódnak, mint egy pont koordinátái. Ennek következtében egy és ugyanazon részecskerendszer különböző vonatkoztatási rendszerekhez viszonyított tömegközéppontjai más és más pontok.

Feladat

Határozzuk meg egy test (részecskerendszer) K rendszerben mért J impulzusmomentumának és a K0 rendszerben mért J0 impulzusmomentumának kapcsolatát, ha a test a K rendszerhez képest V sebességgel mozog, míg a K0 rendszerben a test mint egész nyugalomban van. Az impulzusmomentumot mindkét esetben ugyanarra a pontra, a test K0 rendszerbeli tömegközéppontjára vonatkoztatjuk.[19]

Megoldás.K0 rendszer K-hoz képest V sebességgel mozog; válasszuk e mozgás irányának az x tengelyt. A Jik tenor bennünket érdeklő komponensei az alábbi képletek szerint transzformálódnak (lásd a 6. § 2. feladatát):

J 1 2 = J ( 0 ) 1 2 + V c J ( 0 ) 0 2 1 V 2 c 2 , J 1 3 = J ( 0 ) 1 3 + V c J ( 0 ) 0 3 1 V 2 c 2 , J 2 3 = J ( 0 ) 2 3 .

Minthogy a koordináta-rendszer origóját úgy választottuk meg, hogy (a K0 rendszerben) a test tömegközéppontjában legyen, ebben a rendszerben ∑ℰr=0. Mivel ugyanebben a rendszerben ∑p=0 is fennáll, így J(0)02=J(0)03=0. Figyelembe véve a Jik komponensek és a J vektor kapcsolatát, ez utóbbira azt kapjuk, hogy,

J x = J x ( 0 ) , J y = J y ( 0 ) 1 V 2 c 2 , J z = J z ( 0 ) 1 V 2 c 2 .



[18] A klasszikus mechanikában a tömegközéppontot megadó képlet egyaránt érvényes kölcsönhatásmentes és kölcsönhatásban levő részecskékre, de (14.6) csak akkor helytálló, ha elhanyagoljuk a kölcsönhatásokat. A relativisztikus mechanikában kölcsönható részecskék tömegközéppontjának definiálásához figyelembe kell venni a részecskék által keltett erőterek energiáját és impulzusát is.

[19] Emlékeztetünk arra, hogy bár a K0 rendszerben (amelyben ∑p=0) az impulzusmomentum független attól, hogy melyik ponthoz viszonyítva definiáljuk; a K rendszerben (amelyben ∑p≠0) az impulzusmomentum függ a vonatkoztatási pont megválasztásától (lásd az I. kötet 9. §-át).