Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

13 §. Részecskék rugalmas ütközése

13 §. Részecskék rugalmas ütközése

Vizsgáljuk a részecskék rugalmas ütközését a relativisztikus mechanikában. Legyen p1, ℰ1 és p2, ℰ2 a két (m1 és m2 tömegű) ütköző részecske impulzusa és energiája; az ütközés utáni mennyiségeket vesszővel jelöljük.

Az energia és az impulzus megmaradásának törvényét ütközési folyamatra összefoglalhatjuk a négyesimpulzusok megmaradását kifejező egyenlet alakjában:

2.47. egyenlet - (13.1)

p 1 i + p 2 i = p 1 i + p 2 i .

Ebből az egyenletből a későbbiekben hasznos invariáns összefüggést képezünk. E célból (13.1)-et a

p1i+p2ip1i=p2i.

alakba írjuk, majd ennek az egyenlőségnek a négyzetét (azaz az egyes oldalak önmagukkal való skaláris szorzatait) képezzük. Minthogy a p1i és p1′i négyesimpulzusok négyzetei m12-tel, a p2i és p2′i négyzetei pedig m22-tel egyenlők, azt kapjuk, hogy

2.48. egyenlet - (13.2)

m 1 2 + p 1 i p 2 i p 1 i p 1 i p 2 i p 1 i = 0 .

Hasonlóan a p1i+p2′i–p2′i=p1′i egyenlőség négyzetét véve, az adódik, hogy

2.49. egyenlet - (13.3)

m 2 2 + p 1 i p 2 i p 2 i p 2 i p 1 i p 2 i = 0 .

Vizsgáljuk az ütközést abban a vonatkoztatási rendszerben amelyben az ütközésig az egyik (az m2 tömegű) részecske nyugalomban van (L rendszer). Ekkor p2=0, ℰ2=m2. A (13.2)-ben szereplő skaláris szorzatok így írhatók:

p 1 i p 2 i = 1 m 2 , p 2 i p 1 i = m 2 1 .

2.50. egyenlet - (13.4)

p 1 i p 1 i = 1 1 p 1 p 1 = 1 1 p 1 p 1 cos 𝜃 1 ,

ahol 𝜃1 a bejövő m1 tömegű részecske szórási szöge. Ezeket az összefüggéseket a (13.2)-be helyettesítve,

2.51. egyenlet - (13.5)

cos 𝜃 1 = 1 ( 1 + m 2 ) 1 m 2 m 1 2 p 1 p 1 .

Hasonlóan (13.3)-ból az következik, hogy

2.52. egyenlet - (13.6)

cos 𝜃 2 = ( 1 + m 2 ) ( 2 m 2 ) p 1 p 2 ,

ahol 𝜃2, a p′2 átadott impulzus és a beeső részecske p1 impulzusa által bezárt szög.

(13.5) és a (13.6) képletek kapcsolatot teremtenek az egyes bejövő részecskék L rendszerben mért szórási szögei és a szórás alkalmával átadott energiaértékek között. A fordított összefüggéseket képezve, megadhatjuk az ℰ1′ és ℰ2′, energiát a 𝜃1 vagy 𝜃2 szög függvényében. Így (13.6)-ban p1 és p2′, helyett √(ℰ12–m12)-et és √(ℰ112–m22)-et írva, az egyenlőséget négyzetre emelve, egyszerű számolás után azt kapjuk, hogy

2.53. egyenlet - (13.7)

2 = m 2 ( 1 + m 2 ) 2 + ( 1 2 m 1 2 ) cos 2 𝜃 2 ( 1 + m 2 ) 2 ( 1 2 m 1 2 ) cos 2 𝜃 2 .

(13.5) képlet inverzét képezve, az ℰ1′-t 𝜃1 függvényében megadó összefüggéshez jutunk, amely azonban az általános esetben igen bonyolult.

Megjegyezzük, hogy ha m1>m2, azaz a beeső részecske nehezebb, mint a nyugvó, akkor 𝜃1 szórási szögre felső korlátot kapunk. Elemi számolással könnyen megmutathatjuk, hogy ezt a felső korlátot a

2.54. egyenlet - (13.8)

sin 𝜃 1 max = m 2 m 1

egyenlőség adja, mely megegyezik a klasszikus mechanikában kapott értékkel.

(13.5) és a (13.6) összefüggések egyszerűbbé válnak, ha a beeső részecske tömege zérus (m1=0), emiatt p1=ℰ1 és p1′=ℰ1′. E speciális esetben a beeső részecske energiáját ütközés után a 𝜃1 szórási szög függvényében a következő képlet adja meg:

2.55. egyenlet - (13.9)

1 = m 2 1 cos 𝜃 1 + m 2 1 .

Térjünk vissza ismét a tetszőleges tömegű részecskék ütközéseinek általános esetéhez. Az ütközés a C rendszerben a legegyszerűbb. Az itt mért mennyiségeket egy pótlólagos 0 indexszel látjuk el, így például p10=–p20≡p0. Az impulzusmegmaradás miatt az ütközésben részt vevő részecske impulzusának csak az iránya változik, abszolút értékük egyenlő, irányuk ellentétes marad. Az energiamegmaradás miatt ugyanakkor az egyes impulzusok értékei külön-külön változatlanok.

Jelöljük χ-vel a C rendszerben mért szórási szöget, azt a szöget, amellyel a p10 és p20 impulzusok az ütközés során elfordulnak. Ez a szög teljesen leírja a szórást a C rendszerben, ezért bármilyen másik rendszerben is. Az energia- és az impulzusmegmaradás törvénye által meg nem határozott paraméterként célszerű χ-t használni az L rendszerben is.

Fejezzük ki a két részecske végállapotbeli energiáját az L rendszerben p1ip1′i-vel. E célból ismét a (13.2) egyenletet használjuk, csak most a p1ip1′i szorzatot C rendszerbeli mennyiségekkel fejezzük ki:

p 1 i p 1 i = 1 0 1 0 p 1 0 p 1 0 = 1 0 2 p 0 2 cos χ = p 0 2 ( 1 cos χ ) + m 1 2 .

(A C rendszerben ℰ10′=ℰ10, a részecskék energiája az ütközés során nem változik meg.) A másik két szorzatot, akárcsak fentebb, L rendszerben fejezzük ki, tehát (13.4)-et használjuk fel. Eredményünk:

1 1 = p 0 2 m 2 ( 1 cos χ ) .

Most már csak a p02-et kell az L rendszer mennyiségeivel kifejeznünk. Ezt könnyen megtehetjük a p1ip2i invariáns C és L rendszerben adott kifejezéseink összehasonlításával:

1 0 2 0 p 1 0 p 2 0 = 1 m 2 ,

vagy

( p 0 2 + m 1 2 ) ( p 0 2 + m 2 2 ) = 1 m 2 p 0 2 .

Ezt az egyenletet p02-re megoldva, azt kapjuk, hogy

2.56. egyenlet - (13.10)

p 0 2 = m 2 2 ( 1 2 m 1 2 ) m 1 2 + m 2 2 + 2 m 2 1 .

Végeredményünk tehát:

2.57. egyenlet - (13.11)

1 = 1 m 2 ( 1 2 m 1 2 ) m 1 2 + m 2 2 + 2 m 2 1 ( 1 cos χ ) .

A másik részecske energiáját az ℰ1+m2=ℰ1′+ℰ2′ megmaradási tételből kapjuk. Eszerint:

2.58. egyenlet - (13.12)

2 = m 2 + m 2 ( 1 2 m 1 2 ) m 1 2 + m 2 2 + 2 m 2 1 ( 1 cos χ ) .

Az utóbbi két képletben a második tag éppen az az energia, amit az első részecske a másodiknak átad. Az energiaátadás akkor a legnagyobb, ha χ=π; a maximális érték:

2.59. egyenlet - (13.13)

2  max m 2 = 1 1  min = 2 m 2 ( 1 2 m 1 2 ) m 1 2 + m 2 2 + 2 m 2 1 .

A beeső részecske ütközés utáni minimális kinetikus energiájának és az eredeti kinetikus energiának hányadosa:

2.60. egyenlet - (13.14)

1  min m 1 1 m 1 = ( m 1 m 2 ) 2 m 1 2 + m 2 2 + 2 m 2 1 .

A kis sebességek határesetében (amikor ℰ≈m+mv2∕2) ez az arány az

m1m2m1+m22

állandó határértékhez tart. A másik határesetben, nagy ℰ1 energiáknál (13.14) zérushoz, maga az ℰ1 min′ pedig állandó határértékhez tart, melyet az

1 min=m12+m222m2

kifejezés ad meg.

Tételezzük fel, hogy m2≫m1, azaz a beeső részecske tömege kicsiny a nyugalomban levő részecske tömegéhez képest. A klasszikus mechanika szerint ilyenkor a könnyű részecske saját energiájának csak elhanyagolhatóan kis részét adhatja át a nehéz részecskének (lásd az I. kötet 17. §-át). Nem ez a helyzet a relativisztikus mechanikában. A (13.14) képletből látható, hogy elegendően nagy ℰ1 energiáknál az átadott energia ugyanolyan nagyságrendű lehet, mint ℰ1. Ehhez nem az kell, hogy az m1 részecske sebességének nagyságrendje 1 legyen, hanem, amint könnyen látható, az kell, hogy az energiára az

1 m 2

teljesüljön, azaz a könnyű részecske energiájának nagyságrendje a nehéz részecske energiájának nagyságrendjébe essen.

Hasonló a helyzet m2≪m1 esetében is, tehát olyankor, amikor egy nehéz részecske ütközik neki egy nyugalomban levő könnyű részecskének. A klasszikus mechanika szerint az átadott energia csupán elenyészően kicsi hányada lenne a bejövő részecske energiájának. Jelentősebb energiaátadás csak az

1 m 1 2 m 2

energiaértékektől kezdve lehetséges. Megjegyezzük, hogy ebben az esetben nem egyszerűen a fénysebesség nagyságrendjébe eső sebességekről van szó, hanem olyan energiákról, amelyek m1-hez képest nagyok, ami nem más, mint az extrém relativisztikus határeset.

Feladatok

1.4. ábrán látható ABC háromszöget a bejövő részecske p1 impulzusából és a két részecske ütközés utáni p1′, p2′ impulzusából képeztük. Határozzuk meg azoknak a C pontoknak a mértani helyét, amelyek a p1′ és p2′ összes lehetséges értékeinek felelnek meg.

4. ábra - 4. ábra

4. ábra

Megoldás. A keresett görbe ellipszis, amelynek fókuszpontjait a  11. §-t követő 1. feladat képleteinek segítségével lehet kiszámítani. Valóban, az ott elvégzett szerkesztés célja az volt, hogy megkapjuk tetszőleges irányú, de adott p0 hosszúságú, C rendszerbeli p0 vektorokhoz tartozó L rendszerbeli p vektorok végpontjainak lehetséges mértani helyét.

C rendszerben az ütköző részecskék impulzusának abszolút értéke egyenlő, és az ütközés során sem változik meg. Ezért a C rendszerben a

p 0 p 1 0 = p 2 0 = m 2 V 1 V 2

által adott p1 vektor hasonlóképpen szerkeszthető meg. Itt V az m2 tömegű részecske sebessége az L rendszerben, ennek nagysága megegyezik a tömegközéppont sebességével, V=p1∕(ℰ1+m2)-vel [lásd (11.4)-et]. Eredményünk az, hogy az ellipszis kis- és nagytengelye:

p 0 = m 2 p 1 m 1 2 + m 2 2 + 2 m 2 1 ,

p 0 1 V 2 = m 2 p 1 ( 1 + m 2 ) m 1 2 + m 2 2 + 2 m 2 1 .

[Az első képlet természetesen megegyezik (13.10)-zel.] 𝜃1=0 esetén a p′1 vektor megegyezik p1-gyel, tehát az AB távolság p1-gyel egyenlő. Összehasonlítva p1-et az ellipszis nagytengelyének hosszával, könnyű belátni, hogy az A pont az ellipszisen kívül van, ha m1>m2 (4a ábra), és az ellipszis belsejében van, ha m1<m2 (4b ábra).

2. Határozzuk meg azonos tömegű részecskék ütközése esetén (m1=m2≡m) a bomlástermékek pályája által bezárt minimális szöget.

Megoldás. m 1=m2 esetén az ábra A pontja az ellipszisen van, a keresett minimális szög pedig akkor valósul meg, ha a C pont a kistengely valamelyik végpontjában van (5. ábra). A szerkesztésből nyilvánvaló, hogy tg(𝜃min∕2) egyenlő a két féltengely hosszának hányadosával, tehát

tg 𝜃 min 2 = 2 m 1 + m ,

vagy

cos 𝜃 min = 1 m 1 + 3 m .

5. ábra - 5. ábra

5. ábra

3. Két azonos m tömegű részecske ütközése esetén fejezzük ki ℰ1′-t és ℰ2′-t és χ-t az L rendszerben mért 𝜃1 szórási szöggel.

Megoldás.(13.5) képletet invertálva azt kapjuk, hogy

1 = ( 1 + m ) + ( 1 m ) cos 2 𝜃 1 ( 1 + m ) ( 1 m ) cos 2 𝜃 1 ,

2 = m + ( 1 2 m 2 ) sin 2 𝜃 1 2 m + ( 1 m ) sin 2 𝜃 1 .

Összehasonlítva ezeket az ℰ1′-t χ függvényként megadó

1 = 1 1 m 2 ( 1 cos χ )

kifejezéssel, a C rendszer szórási szögére a

cos χ = 2 m ( 1 + 3 m ) sin 2 𝜃 1 2 m + ( 1 + m ) sin 2 𝜃 1

képlet adódik.