Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

9 §. Energia és impulzus

9 §. Energia és impulzus

Egy részecske impulzusának, mint ismeretes, a p=∂L∕∂v vektort nevezzük (a ∂L∕∂v annak a vektornak a szimbolikus jelölése, amelynek komponensei L-nek v megfelelő komponensei szerint vett deriváltjai). A (8.2) képlet alapján azt kapjuk, hogy

2.3. egyenlet - (9.1)

p = m v 1 v 2 c 2 .

Kis sebességek esetén (v≪c) vagy a c→∞ határesetben a (9.1) képlet átmegy a p=mv klasszikus összefüggésbe. v=c esetén az impulzus végtelenné válik.

Az impulzust idő szerint deriválva, megkapjuk a részecskére ható erőt. Tételezzük fel, hogy a sebességnek csak az iránya változik, azaz az erő merőleges a sebességre. Ekkor

2.4. egyenlet - (9.2)

d p d t = m 1 v 2 c 2 d v d t ,

ha pedig csak a sebesség nagysága változik, tehát az erő párhuzamos a sebességgel, akkor

2.5. egyenlet - (9.3)

d p d t = m 1 v 2 c 2 3 2 d v d t .

Azt látjuk, hogy a két esetben az erő és a gyorsulás hányadosa különböző.

Egy részecske ℰ energiájának az

= p v L

mennyiséget nevezzük (lásd az I. kötet 6. §-át). Behelyettesítve L és p(8.2), illetve (9.1) kifejezését, azt kapjuk, hogy

2.6. egyenlet - (9.4)

= m c 2 1 v 2 c 2 .

Ez nagyon fontos összefüggés, mely többek között azt mutatja, hogy a relativisztikus mechanikában a szabad részecske energiája v=0 esetén nem válik zérussá, hanem véges mennyiség marad:

2.7. egyenlet - (9.5)

= m c 2 .

Ezt az energiát a részecske nyugalmi energiájának nevezzük.

Kis sebességek esetén (v≪c) (9.4)-et v∕c szerint sorba fejtve, azt találjuk, hogy

m c 2 + m v 2 2 ,

azaz levonva a nyugalmi energiát, a részecske kinetikus energiájának klasszikus kifejezéséhez jutunk.

Hangsúlyozzuk, hogy bár a fentiekben „részecskéről” beszéltünk, a részecske „elemi” voltát sehol sem használtuk ki. Ezért a kapott kifejezések ugyanolyan joggal alkalmazhatók bármilyen összetett, sok részecskéből álló testre is, amikor m a test teljes tömegét, v pedig a testnek mint egésznek a mozgássebességét jelenti. Például a (9.5) képlet érvényes bármilyen, egészében véve nyugalomban levő testre. Vegyük észre, hogy egy szabad test energiája (azaz bármely zárt rendszer energiája) a relativisztikus mechanikában egyértelműen meghatározott, mindig pozitív mennyiség, és értéke közvetlen kapcsolatban van a test tömegével. Ezzel kapcsolatosan emlékezhetünk arra, hogy a klasszikus mechanikában egy test energiája csak egy tetszőleges additív állandó erejéig volt meghatározható, a test energiája egyaránt lehetett pozitív és negatív.

Egy nyugalomban levő test, az őt felépítő részecskék nyugalmi energiáján kívül, magába foglalja kinetikus energiájukat és egymással való kölcsönhatásuk energiáját is. Más szóval, mc2 nem egyenlő egyszerűen a ∑mac2 összeggel (ma a részecskék tömege) ezért m sem egyenlő ∑ma-val. A relativisztikus mechanikában tehát nem teljesül a tömegmegmaradás törvénye: az összetett test tömege nem egyenlő a testet felépítő részecskék tömegének összegével. Érvényes azonban az energia megmaradásának a törvénye, és az energia magában foglalja a részecskék nyugalmi energiáit is.

(9.1) és (9.4) kifejezéseket négyzetre emelve, az így kapott képletek összehasonlításával a részecske energiája és impulzusa között az

2.8. egyenlet - (9.6)

c 2 = p 2 + m 2 c 2

összefüggést nyerjük. Az impulzussal kifejezett energia, mint tudjuk, a ℋ Hamilton-függvény:

2.9. egyenlet - (9.7)

= c p 2 + m 2 c 2 .

Kis sebességek esetén p≪mc, így közelítőleg

mc2+p22m,

azaz a nyugalmi energia levonásával a Hamilton-függvény klasszikus mechanikából ismert kifejezését kapjuk vissza.

(9.1) és (9.4) képletekből az alábbi összefüggés vezethető le a szabad részecske energiája, impulzusa és sebessége között:

2.10. egyenlet - (9.8)

p = v c 2 .

v=c esetén a részecske energiája és impulzusa végtelenné válik. Ez azt jelenti, hogy nullától különböző tömegű részecske nem mozoghat fénysebességgel. A relativisztikus mechanikában azonban létezhetnek olyan részecskék is, amelyeknek a tömege zérus, és amelyek fénysebességgel mozognak.[13] Ezekre a részecskékre (9.8)-ból azt kapjuk, hogy

2.11. egyenlet - (9.9)

p = c .

Közelítőleg ugyanez a képlet érvényes az úgynevezett extrém relativisztikus határesetben a zérustól különböző tömegű részecskékre is, amikor ezek energiája jóval nagyobb az mc2 nyugalmi energiánál.

Írjuk most fel az eddig kapott összefüggéseket négyesskalárok, -vektorok, -tenzorok használatával. A legkisebb hatás elve szerint:

δ S = m c δ a b d s = 0 .

Bontsuk fel a δS-re kapott kifejezést. Minthogy ds=√(dxidxi),

δ S = m c a b d x i δ d x i d s = m c a b u i d δ x i .

Parciális integrálással kapjuk, hogy

2.12. egyenlet - (9.10)

δ S = m c u i δ x i a b + m c δ x i d u i d s d s .

Mint ismeretes, a mozgásegyenleteket úgy vezetjük le, hogy összehasonlítjuk a két adott helyzeten áthaladó különböző pályákat, azaz a határokon (δxi)a=(δxi)b=0. A valódi mozgást a δS=0 feltétel határozza meg. (9.10)-ből ekkor a dui∕ds=0 egyenletet kapjuk, azaz a szabad részecske sebességének állandóságát, kovariáns alakban.

Ha a hatás variációját a koordináták függvényében keressük, akkor csak egy pont lehet rögzített, ez legyen az „a” világpont, úgyhogy (δxi)a=0. A másik pontot változóként kell kezelnünk, de ekkor már csak valódi, azaz a mozgásegyenletet kielégítő világvonalakat kell figyelembe vennünk. Ezért a δS(9.10) kifejezésében az integrál eltűnik. (δxi)b helyett írjunk egyszerűen (δxi)-t. Ily módon azt kapjuk, hogy

2.13. egyenlet - (9.11)

δ S = m c u i δ x i .

A

2.14. egyenlet - (9.12)

p i = S x i

négyesvektort négyesimpulzusnak nevezzük. Mint az a mechanikából ismeretes, a (∂S/g)∂x, (∂S/∂y), (∂S/∂z) deriváltak a részecske impulzusvektorának három komponensét adják, a –(∂S/∂t) derivált pedig a részecske ℰ energiáját. Ezért a négyesimpulzus kovariáns komponensei: pi=(ℰ∕c,–p), a kontravariáns komponensek pedig:[14]

2.15. egyenlet - (9.13)

p i = c , p

(9.11) összefüggésből leolvasható, hogy a szabad részecske négyesimpulzusának komponenseit a

2.16. egyenlet - (9.14)

p i = m c u i

képlet adja. Ha ide behelyettesítjük a négyessebesség (7.2)-beli kifejezését, ellenőrizhetjük, hogy p-re és ℰ-re valóban teljesülnek a (9.1) és (9.4) összefüggések.

A relativisztikus mechanikában tehát az energia és az impulzus egyetlen négyesvektor komponensei. Ebből már közvetlenül következnek az energia és impulzus transzformációs szabályai egyik inerciarendszerről egy másikra való áttéréskor. A (9.13) kifejezést a négyesvektorok transzformációjának általános (6.1) képleteibe helyettesítve, azt kapjuk, hogy

2.17. egyenlet - (9.15)

p x = p x + V c 2 1 V 2 c 2 , p y = p y , p z = p z , = + V p x 1 V 2 c 2 ,

ahol px,py,pz a háromdimenziós p vektor komponensei.

A négyesimpulzus (9.14) definíciójából és az uiui=1 azonosságból következik, hogy

2.18. egyenlet - (9.16)

p i p i = m 2 c 2 .

Ide betéve a (9.13) alakot, a (9.6) összefüggést kapjuk vissza.

Az erő szokásos definíciójához hasonlóan, az erő négyesvektorát a

2.19. egyenlet - (9.17)

g i = d p i d s = m c d u i d s

deriválttal definiálhatjuk. Komponensei eleget tesznek a giui=0 azonosságnak. E négyesvektor komponenseit az erő f=dp∕dt közönséges háromdimenziós vektorával a következőképpen fejezhetjük ki:

2.20. egyenlet - (9.18)

g i = f v c 2 1 v 2 c 2 , f c 1 v 2 c 2 .

Az időkomponens, mint láthatjuk, az erő által végzett munkával kapcsolatos.

A relativisztikus Hamilton–Jacobi-egyenletet úgy kaphatjuk, hogy (9.16)-ba pi helyett a –(∂S/∂xi) deriváltakat helyettesítjük:

2.21. egyenlet - (9.19)

S x i S x i g i k S x i S x k = m 2 c 2 .

vagy elvégezve az összegezést:

2.22. egyenlet - (9.20)

1 c 2 S t 2 S x 2 S y 2 S z 2 = m 2 c 2 .

(9.20) egyenletben a klasszikus határesetre való áttérést a következőképpen végezhetjük el. Mindenekelőtt azt kell figyelembe vennünk [akárcsak a (9.7)-ben elvégzett megfelelő átmenetnél], hogy a relativisztikus mechanikában a részecske energiája tartalmazza az mc2 tagot, amely a klasszikus mechanikában nem szerepel. Minthogy a hatás és az energia kapcsolatát az ℰ=–∂S∕∂t kifejezés adja, a klasszikus mechanikára való áttéréskor az S helyett egy új, S′ hatást kell bevezetni, amit az

S = S m c 2 t

egyenlőséggel definiálunk. Ezt (9.20)-ba helyettesítve azt kapjuk, hogy

1 2 m c 2 S t 2 S t 1 2 m S x 2 + S y 2 + S z 2 = 0 .

A c→∞ határátmenetben ez az egyenlet a klasszikus mechanikából ismert Hamilton –Jacobi-egyenletbe megy át.



[13] Ilyenek a fotonok és a neutrinók.

[14] A fizikai négyesvektorok definíciója megjegyzésének megkönnyítésére figyeljük meg a következő mnemotechnikai szabályt: a kontravariáns komponenseknek a „helyes”, pozitív előjellel vett értékei egyenlőek a megfelelő hármasvektorokkal (rxi-re, ppi-re stb.).