Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

6 §. Négyesvektorok

6 §. Négyesvektorok

Egy esemény (ct,x,y,z) koordinátáit úgy foghatjuk fel, mint a négydimenziós tér egy helyzetvektorának négy komponensét (vagy ahogy a rövidség kedvéért mondjuk, mint egy négyes helyzetvektort). E vektor komponenseit xi-vel jelöljük, ahol i lehetséges értékei 0,1,2,3, és

x 0 = c t , x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z .

A négyes helyvektor hosszának „négyzetét” az

( x 0 ) 2 ( x 1 ) 2 ( x 2 ) 2 ( x 3 ) 2

kifejezés definiálja. Ez a kvadratikus alak a négydimenziós tér forgatásaival szemben invariáns.

Általánosságban Ainégydimenziós vektornak vagy röviden négyesvektornak nevezzük az A0,A1,A2,A3 négy mennyiség összességét, ha azok a négydimenziós koordináta-rendszer transzformációi során úgy transzformálódnak, mint az xi négyes helyzetvektor komponensei. Lorentz-transzformáció esetén tehát

1.25. egyenlet - (6.1)

A 0 = A 0 + V c A 1 1 V 2 c 2 , A 1 = A 1 + V c A 0 1 V 2 c 2 , A 2 = A 2 , A 3 = A 3 .

Egy négyesvektor négyzetét a helyvektor négyzetéhez hasonlóan az

( A 0 ) 2 ( A 1 ) 2 ( A 2 ) 2 ( A 3 ) 2

összeggel definiáljuk. Az írásmód egyszerűsítése céljából előnyös a négyesvektorok lent indexelt komponenseit is definiálni:

1.26. egyenlet - (6.2)

A 0 = A 0 , A 1 = A 1 , A 2 = A 2 , A 3 = A 3 .

Az Ai mennyiségeket a négyesvektor kontravariáns, az Ai mennyiségeket pedig ugyanazon négyesvektor kovariáns komponenseinek nevezzük. A négyesvektor négyzete ekkor a következő:

i = 0 3 A i A i = A 0 A 0 + A 1 A 1 + A 2 A 2 + A 3 A 3 .

Az ilyen típusú összegeket kényelmes egyszerűen AiAi alakba írni, elhagyva az összegezés jelét. Általában fogadjuk el szabályként, hogy ha egy adott kifejezésben valamely index kétszer szerepel, akkor a szerint az index szerint összegezni kell, az összegezés jelét pedig elhagyjuk. Az azonos indexek egyikének alsó, másikának felső indexnek kell lennie. Az összegező indexek használata nagyon kényelmes, mert jelentős mértékben egyszerűsíti a képletek alakját.

Ebben a könyvben a 0,1,2,3 értékeket befutó négyesindexeket latin i,k,l,…, betűkkel jelöljük.

A négyesvektorok négyzetéhez hasonlóan adható meg két különböző négyesvektor skaláris szorzata is:

A i B i = A 0 B 0 + A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 .

Nyilvánvaló, hogy AiBi és AiBi egyenlő egymással. Általában minden összegező indexpárban a felső és az alsó indexek felcserélhetők.[4]

Az AiBi szorzat négyesskalár, azaz invariáns a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásaival szemben. Ezt a tulajdonságot közvetlenül is könnyen beláthatjuk,[5] de már abból is nyilvánvaló, hogy minden négyesvektor azonos módon transzformálódik.

A négyesvektor A0 komponensét időszerű komponensnek, az A1,A2,A3 komponenseket pedig térszerű komponenseknek nevezzük (a négyes helyvektorra emlékezve). Egy négyesvektor négyzete lehet pozitív, negatív vagy nulla; e három esetnek megfelelően beszélünk időszerű, térszerű és fényszerű[6] négyesvektorokról (ismét az intervallumoknál használt terminológiához igazodva).

A tiszta térbeli forgatások esetén (azaz olyan transzformációknál, amelyek az időtengelyt nem érintik) az Ai négyesvektor három térkomponense háromdimenziós A vektort alkot. A négyesvektor időkomponense pedig (ugyanezen transzformációknál) háromdimenziós skalár. Amikor egy négyesvektor komponenseit felírjuk, gyakran használjuk az

A i = ( A 0 , A )

jelölést. Ugyanennek a négyesvektornak a kovariáns komponensei: Ai=(A0,–A), a négyesvektor négyzete pedig AiAi=(A0)2–A2. Így a négyes helyvektornál:

x i = ( c t , r ) , x i = ( c t , r ) , x i x i = c 2 t 2 r 2 .

A háromdimenziós vektorok esetében (x, y, z koordinátákban) természetesen felesleges különbséget tenni kontravariáns és kovariáns komponensek között. Mindenütt (ahol ez nem vezethet félreértésekre) a hármasvektorok komponenseit az Aα(α=x,y,z) alakban írjuk, azaz csak alsó indexeket használunk, melyeket görög betűkkel jelölünk. A kétszer ismétlődő görög betűs indexek x, y, z-re vonatkozó összegezést jelentenek (pl. AB=AαBα).

Másodrendű négyestenzornak nevezzük a 16Aik mennyiség összességét, ha az Aik mennyiségek a koordináták transzformációjakor úgy transzformálódnak, mint négyesvektorok komponenseinek a szorzatai. Hasonlóan definiálhatók a magasabb rendű tenzorok is.

Egy másodrendű négyestenzor komponenseit háromféleképpen adhatjuk meg: kontravariáns Aik, kovariáns Aik vagy kevert Aki komponensek formájában. (Az utóbbi esetben általában különbséget kell tennünk Aki és Aki között, azaz vigyázni kell arra, hogy az első vagy a második index áll-e felül.) A komponensek különböző alakjainak kapcsolatát a következő általános szabály adja meg: az időszerű index felhúzása vagy lehúzása nem okoz változást, de a térszerű indexek (1,2,3) felhúzása vagy lehúzása megváltoztatja a komponens előjelét, tehát

A 0 0 = A 0 0 , A 0 1 = A 0 1 , A 1 1 = A 1 1 , , A 0 0 = A 0 0 , A 0 1 = A 0 1 , A 1 0 = A 0 1 , A 1 1 = A 1 1 ,

Tisztán térbeli transzformációk esetén a kilenc A11,A12,…,A33 komponens háromdimenziós tenzort alkot, a három A01,A02,A03 és a három A10,A20,A30 komponens háromdimenziós vektort képez, A00 pedig háromdimenziós skalár.

Az Aik tenzort szimmetrikusnak mondjuk, ha Aik=Aki, és antiszimmetrikusnak, ha Aik=–Aki. Antiszimmetrikus tenzor valamennyi diagonális eleme (azaz az A00,A11,… komponensek) zérus, minthogy pl. A00=–A00. Szimmetrikus tenzor esetén az Aki és Aki komponensek megegyeznek, ilyenkor azokat egyszerűen Aki alakban írjuk, az indexeket egymás felett helyezve el.

Minden tenzoregyenlőségben az egyenlet két oldalán azonos számú és azonosan (alul vagy felül) elhelyezett szabad (nem összegező) indexnek kell szerepelnie. A tenzoregyenlőségekben a szabad indexeket áthelyezhetjük (fel- vagy lehúzhatjuk), de az indexek áthelyezését egyidejűleg kell elvégezni az egyenlet minden tagjában. Nem engedhető meg különböző tenzorok kontra- és kovariáns komponenseinek egyenlővé tétele; ha valamilyen véletlen folytán igaz volna is egy ilyen egyenlőség, valamelyik vonatkoztatási rendszerben, biztosan érvényét veszítené egy másik rendszerre való áttéréskor.

Az Aik tenzor komponenseiből összegezéssel skalárt lehet képezni:

A i i = A 0 0 + A 1 1 + A 2 2 + A 3 3 .

(nyilván Aii=Aii). Ezt az összeget a tenzor átlósösszegének (spurjának) nevezzük, magát a skalárt képező műveletet pedig a tenzor kontrakciójának (esetleg indexegybeejtésnek).

Két négyesvektor fentebb vizsgált skalárszorzatának képzése is tulajdonképpen indexegybeejtés: az AiBi skalárt az AiBk tenzorból kontrakcióval képezhetjük. Az indexpárok minden egyes kontrakciója általában 2-vel csökkenti a tenzor rendjét. Például az Aklii mennyiség egy másodrendű tenzor, AkiBk négyesvektor, Aikik skalár stb.

Egységtenzornak nevezzük, és δki-val jelöljük azt a tenzort, amelyre bármely Ai vektor esetén fennáll a

1.27. egyenlet - (6.3)

δ i k A i = A k

egyenlőség. E tenzor komponensei nyilván:

1.28. egyenlet - (6.4)

δ i k = 1 , ha  i = k , 0 , ha  i k .

E tenzor átlósösszege δii=4.

Ha a δki tenzor i indexét lehúzzuk, vagy a k indexét felhúzzuk, a gik kontra-, illetve a gik kovariáns tenzort kapjuk. Ezeket metrikus tenzoroknak nevezzük.gik és gik tenzorok komponensei azonosak, és mátrixalakban így adhatók meg:

1.29. egyenlet - (6.5)

( g i k ) = ( g i k ) = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

(az i index a sorokat, a k index pedig az oszlopokat számozza a 0,1,2,3 értékek sorrendjében). Nyilvánvaló, hogy

1.30. egyenlet - (6.6)

g i k A k = A i , g i k A k = A i .

Így két négyesvektor skaláris szorzatát a következő alakban is írhatjuk:

1.31. egyenlet - (6.7)

A i A i = g i k A i A k = g i k A i A k .

A δki,gik,gik tenzorok kivételesek abban az értelemben, hogy e tenzorok komponensei minden koordináta-rendszerben azonosak. Ugyanilyen tulajdonságú a teljesen antiszimmetrikus negyedrendű eiklm egységtenzor is. E tenzor komponensei előjelet váltanak bármelyik két index felcserélésekor, a zérustól különböző komponensei +1-gyel vagy –1-gyel egyenlők. Az antiszimmetriából következik, hogy e tenzor minden olyan komponense, melynek két vagy több indexe megegyezik, eltűnik. Zérustól csak azok a komponensek különböznek, amelyeknek mind a négy indexe különböző. Legyen

1.32. egyenlet - (6.8)

e 0 1 2 3 = + 1

(ekkor e0123=–1). E választás mellett egy zérustól különböző komponens attól függően +1 vagy –1, hogy az i,k,l,m indexeket páros vagy páratlan számú cserével (permutációval) lehet 0,1,2,3 alakra hozni. Az el nem tűnő komponensek száma: 4!=24, ezért

1.33. egyenlet - (6.9)

e i k l m e i k l m = 2 4 .

A koordináta-rendszer elforgatásakor az eiklm mennyiségek úgy viselkednek, mint egy tenzor komponensei. Ha viszont egy vagy három koordináta előjelét megváltoztatjuk, az eiklm komponensek (mivel definíciójuk minden koordináta-rendszerben azonos) nem változnak meg, noha a tenzorkomponensnek előjelet kellene váltania. Éppen ezért eiklm szigorú értelemben nem mondható tenzornak; szokásos elnevezése: pszeudotenzor. Tetszőleges rendű pszeudotenzorok, például a pszeudoskalárok, amelyek minden koordinátatranszformációnál változatlanok maradnak, kivéve a tükrözéseket (a koordináták előjeleinek olyan megváltoztatását, mely forgatásra nem vezethető vissza), ekkor előjelet váltanak.

Az eiklmeprst szorzat nyolcadrendű négyestenzort, mégpedig már valódi négyestenzort alkot. Belőle egy vagy néhány indexpár kontrakciójával hatod-, negyed- és másodrendű tenzorokat képezhetünk. Mindezek a tenzorok, valamennyi koordináta-rendszerben azonos alakúak. Így komponenseik kifejezhetők a δki egységtenor szorzatainak lineáris kombinációjaként, minthogy ez az egyetlen olyan tenzor, amelynek komponensei minden koordináta-rendszerben ugyanazok. Ezeket a kombinációkat könnyen megszerkeszthetjük, figyelembe véve az indexek felcserélésével kapcsolatos szimmetriatulajdonságaikat.[7]

Ha Aik antiszimmetrikus tenzor, akkor az Aik tenzort és az A∗ik=(1/2)eiklmAlm pszeudotenzort egymás duálisának nevezzük. Hasonlóan az eiklmAm harmadrendű antiszimmetrikus tenzor az Ai vektor duálisa. Az AikAik∗ skaláris szorzat nyilvánvalóan pszeudoskalár.

A fent említettekkel kapcsolatban emlékeztetni szeretnénk a háromdimenziós vektorok és tenzorok hasonló tulajdonságaira. Teljesen antiszimmetrikus harmadrendű egységtenzornak nevezzük az eαβγ mennyiségek összességét, melyek bármelyik két indexük felcserélésekor előjelet váltanak. Zérustól csak azok a komponensek különböznek, amelyeknek három különböző indexük van. Az exyz=1 választással élünk; a többi komponens +1 vagy –1, attól függően, hogy páros vagy páratlan felcserélést kell ahhoz végrehajtanunk, hogy az α,β,γ sorrendet x,y,z sorrendre változtassuk.[8]

Az eαβγeλμν szorzat valódi hatodrendű háromdimenziós tenzort képez, éppen ezért ki tudjuk fejezni a δαβ háromdimenziós egységtenzor szorzatainak lineáris kombinációjaként.[9]

A koordináta-rendszer tükrözésekor (mindegyik koordináta előjelének megváltoztatása esetén) a közönséges háromdimenziós vektor komponensei is előjelet váltanak. Az ilyen vektorokat poláris vektoroknak nevezzük. Ugyanakkor egy olyan vektor komponensei, amelyet két polárvektor vektorszorzataként állítunk elő, nem váltanak előjelet. Az ilyen vektorokat axiális vektoroknak nevezzük. Egy poláris és egy axiális vektor skaláris szorzata nem valódi skalár, hanem pszeudoskalár: előjelet vált a koordináták tükrözésekor. Az axiális vektor egy antiszimmetrikus tenzorral duális pszeudovektor. Ha tehát C=A×B, akkor

C α = 1 2 e α β γ C β γ ,  ahol  C β γ = A β B γ A γ B β .

Térjünk vissza a négyestenzorokhoz. Az Aik antiszimmetrikus négyestenzor térszerű komponensei (i,k=1,2,3) a tisztán térbeli elforgatásokkal szemben úgy viselkednek, mint egy háromdimenziós tenzor komponensei; a fent mondottak szerint ezeket a komponenseket kifejezhetjük egy háromdimenziós axiális vektor segítségével is. Ugyanakkor az A01,A02,A03 komponensek a tisztán térbeli elforgatásokkal szemben háromdimenziós poláris vektort alkotnak. Ennek megfelelően az antiszimmetrikus négyestenzor komponenseit az

1.34. egyenlet - (6.10)

( A i k ) = 0 p x p y p z p x 0 a z a y p y a z 0 a x p z a y a x 0

mátrixszal reprezentálhatjuk, ahol a p és a vektorok a térbeli transzformációk során poláris, illetve axiális vektorként viselkednek. Egy antiszimmetrikus négyestenzor komponenseinek felsorolásakor az alábbi jelölést használjuk:

A i k = ( p , a ) ;

ugyanennek a tenzornak a kovariáns komponensei pedig:

A i k = ( p , a ) .

Befejezésül a négydimenziós tenoranalízis néhány differenciál- és integrálszabályával foglalkozunk.

Egy skalár négyesgradiense négyesvektor:

φ x i = 1 c φ t , φ .

A parciális deriváltakat egy négyesvektor kovariáns komponenseinek kell tekintenünk. Valóban: egy skalár

d φ = φ x i d x i

differenciálja ismét skalár; amiből nyilvánvalóan következik (minthogy a jobb oldal két négyesvektor skaláris szorzata), hogy a fenti állítás igaz.

Általában, az xi koordináták szerint végrehajtandó differenciálás ∂∕∂xi operátorait egy négyesvektor-operátor kovariáns komponenseinek kell tekinteni. Ezért pl. egy Ai négyesvektor ∂Ai∕∂xi kifejezéssel definiált divergenciája skalár, minthogy abban az Ai kontravariáns komponenseket differenciáljuk.[10]

A háromdimenziós térben definiálhatunk vonal menti, felületi és térfogati integrálokat. A négydimenziós térben ennek megfelelően négyféle integrálás létezik.

  1. Vonal menti integrálás a négydimenziós térben. Az integrálás elemei az ívhosszak, azaz a dxi négyesvektor.

  2. Kétdimenziós felületre vett integrálás a négydimenziós térben. Mint ismeretes, a háromdimenziós térben két dr és dr′ vektorból felépített paralelogramma területének vetülete az xαxβ koordinátasíkra dxαdxβ′–dxβdxα′. Hasonlóan, a négydimenziós térben a végtelenül kis felületelemet egy másodrendű antiszimmetrikus dfik=dxidx′k–dxkdx′i tenzor segítségével adjuk meg; e tenzor komponensei a felületelemnek a koordinátasíkokra való vetületeit határozzák meg. A háromdimenziós térben, mint ismeretes, egy dfαβ tenzor helyett felületelemként egy dfα, vektort használunk, amely a dfαβ tenzor duálisa: dfα=(1/2)eαβγdfβγ. Geometriai szempontból ez egy olyan vektor, amely merőleges a felületelemre, és abszolút értéke egyenlő a felületelem nagyságával. A négydimenziós térben ilyen vektor nincs, de képezhetjük a dfik tenzor duálisát, df∗ik-t:

    1.35. egyenlet - (6.11)

    d f i k = 1 2 e i k l m d f l m .

    Ez a df∗ik tenzor geometriailag egy olyan felületelemet ábrázol, amely egyenlő a dfik elemmel, de „merőleges” rá. Ezen azt értjük, hogy az összes df∗ik-ban fekvő szakasz merőleges az összes dfik-ban levő vonaldarabra. Nyilvánvalóan dfikdfik∗=0.

  3. Hiperfelületen képzett, azaz háromdimenziós felületi integrál. A háromdimenziós térben három vektorból képzett paralelepipedon térfogata, mint ismeretes, egyenlő a vektorok komponenseiből képzett harmadrendű determinánssal. Hasonlóan a négydimenziós térben a dxi,dx′i,dx′′i négyesvektorokból képzett „paralelepipedon” térfogatának (azaz a hiperfelület „területének”) vetületeit a

    d S i k l = d x i d x i d x i d x k d x k d x k d x l d x l d x l

    determinánsokkal adjuk meg, melyek mindhárom indexében antiszimmetrikus harmadrendű tenzort képeznek. De a hiperfelületen végzett integrálás „terület”-elemként előnyösebb a dSikl tenzorral duális dSi négyesvektort használni:

    1.36. egyenlet - (6.12)

    d S i = 1 6 e i k l m d S k l m , d S k l m = e n k l m d S n ,

    ahol

    d S 0 = d S 1 2 3 , d S 1 = d S 0 2 3 ,

    Geometriailag dSi egy olyan négyesvektor, amelynek nagysága egyenlő a hiperfelületbeli elem „területével”, iránya pedig merőleges a felületelemre (azaz merőleges a hiperfelület-elem összes egyenesére). Speciálisan dS0=dxdydz, ez éppen a háromdimenziós dV térfogatelem, a hiperfelület-elemnek az x0=const hiperfelületre vonatkozó vetülete.

  4. Négydimenziós térfogatra vett integrálás. Az integrálási elem a koordináta-differenciálok szorzata:

    1.37. egyenlet - (6.13)

    d Ω = d x 0 d x 1 d x 2 d x 3 = c d t d V .

    Ez az elem skalár: nyilvánvaló, hogy a négyestér egy darabjának térfogata a koordináta-rendszer elforgatásakor változatlan marad.[11]

    A háromdimenziós vektoranalízis Gauss- és Stokes-tételéhez hasonló tételek segítségével a négyesintegrálokat is átalakíthatjuk egymásba.

    Egy zárt hiperfelületre vett integrált át lehet alakítani a zárt felület belsejében levő négyestérfogatra vett integrállá, a dSi integrálási elemet a

    1.38. egyenlet - (6.14)

    d S i d Ω x i

    operátorral helyettesítve. Például az Ai vektor esetében:

    1.39. egyenlet - (6.15)

    A i d S i = A i x i d Ω .

    Ez az egyenlőség a Gauss-tétel általánosítása.

    Egy kétdimenziós felületre vett integrálást átalakíthatunk az általa „körbefogott” hiperfelületre vett integrállá, a dfik∗ felületelemet a

    1.40. egyenlet - (6.16)

    d f i k d S i x k d S k x i

    operátorral helyettesítve. Például az Aik antiszimmetrikus tenzor integrálja esetén:

    1.41. egyenlet - (6.17)

    1 2 A i k d f i k = 1 2 d S i A i k x k d S k A i k x i = d S i A i k x k .

    Egy négydimenziós, vonal menti integrált a vonal által határolt felületre vett integrállá alakíthatunk, elvégezve a

    1.42. egyenlet - (6.18)

    d x i d f k i x k

    helyettesítést. Így például egy vektor vonal menti integrálja esetében:

    1.43. egyenlet - (6.19)

    A i d x i = d f k i A i x k = 1 2 d f i k A k x i A i x k .

    Ez a Stokes-tétel általánosítása.

Feladatok

1. Hogyan transzformálódnak a szimmetrikus Aik négyestenzor komponensei a (6.1) Lorentz-transzformáció alkalmazásakor?

Megoldás. A négyestenzor komponenseit négyesvektorok két komponense szorzatának tekintve, kapjuk, hogy

A 0 0 = 1 1 V 2 c 2 A 0 0 + 2 V c A 0 1 + V 2 c 2 A 1 1 ,

A 1 1 = 1 1 V 2 c 2 A 1 1 + 2 V c A 0 1 + V 2 c 2 A 0 0 ,

A 2 2 = A 2 2 , A 2 3 = A 2 3 , A 1 2 = 1 1 V 2 c 2 A 1 2 + V c A 0 2 ,

A 0 1 = 1 1 V 2 c 2 A 0 1 1 + V 2 c 2 + V c A 0 0 + V c A 1 1 ,

A 0 2 = 1 1 V 2 c 2 A 0 2 + V c A 1 2 .

Hasonló képletek adódnak az A33, A13, A03 komponensekre.

2. Oldjuk meg az előző feladatot antiszimmetrikus Aik tenzor esetén.

Megoldás. Minthogy az x2,x3 koordináták változatlanok maradnak, nem változik a tenzor A23 komponense sem, az A12, A13 és A02, A03 komponensek pedig úgy transzformálódnak, mint az x1 és x0:

A 2 3 = A 2 3 , A 1 2 = A 1 2 + V c A 0 2 1 V 2 c 2 , A 0 2 = A 0 2 + V c A 1 2 1 V 2 c 2 ;

hasonló az A13, A03 komponensek képlete is.

Az x0x1 síkbeli kétdimenziós koordináta-rendszer elforgatásaival szemben (ilyen a fenti transzformáció) az A01=–A10,A00=A11=0 komponensek antiszimmetrikus, a tér dimenziójának számával megegyező rendű tenzort alkotnak. Ezért (lásd a  7 számú lábjegyzetet) a transzformáció során ezek a komponensek nem változnak:

A 0 1 = A 0 1 .



[4] A legújabb irodalomban gyakran teljesen elhagyják a négydimenziós vektorok indexeit, négyzeteiket és skalárszorzataikat pedig egyszerűen A2-tel, illetve AB-vel jelölik. Ebben a könyvben ilyen jelöléseket nem használunk.

[5] Csupán arra kell vigyázni, hogy a négyesvektor kovariáns komponenseinek transzformációs törvénye (előjelekben) nem azonos a kontravariáns komponensek transzformációs szabályával. Így (6.1) helyett nyilván az A0=(A0′–(V/c)A1′/√(1–(V2/c2))), A1=(A1′–(V/c)A0′/√(1–(V2/c2))), A2=A2′, A3=A3′ összefüggések állnak fenn.

[6] A fényszerű négyesvektorokat izotrop vektoroknak is nevezzük.

[7] A teljesség kedvéért felsoroljuk a megfelelő képleteket:

eiklmeprst=δpiδriδsiδtiδpkδrkδskδtkδplδrlδslδtlδpmδrmδsmδtm,eiklmeprsm=δpiδriδsiδpkδrkδskδplδrlδsl,eiklmeprlm=2(δpiδrkδriδpk),eiklmepklm=6δpi.

E képletekben az általános együtthatók helyességét a teljes kontrakció elvégzésével, a (6.9) képlet segítségével ellenőrizhetjük. Az első képlet következményeként kapjuk, hogy

eprstAipAkrAlsAmt=Aeiklm,eiklmeprstAipAkrAlsAmt=24A,

ahol az A az Aik mennyiségekből képzett determináns.

[8] Az eiklm négyestenzor komponenseinek invarianciája a négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásaival szemben és az eαβγ hármastenzor komponenseinek invarianciája a térbeli koordinátatengelyek elforgatása esetén annak az általános szabálynak speciális folyománya, amely szerint egy teljesen antiszimmetrikus tenzor, ha rendje egyenlő azon tér dimenziójának számával, amelyben a tenzort definiáltuk, invariáns a szóban forgó térben felvett koordináta-rendszer elforgatásaival szemben.

[9] A teljesség kedvéért megadjuk a megfelelő képleteket: eαβγeλμν=|δαλδαμδαν / δβλδβμδβν / δγλδγμδγν|. Ha egy, kettő vagy három indexpárt egybeejtünk, az alábbi összefüggéseket kapjuk: eαβγeλμγ=δαλδβμ–δαμδβλ, eαβγeλβγ=2δαλ, eαβγeαβγ=6.

[10] Ha viszont a differenciálást az xi „kontravariáns koordináták” szerint végezzük, akkor a (∂φ/∂xi)=((1/c)(∂φ/∂t),–∇φ) differenciálhányadosok egy négyesvektor kontravariáns komponenseit alkotják. Ilyen írásmódot csak kivételes esetben fogunk használni, pl. egy négyesgradiens négyzetének megadásakor: ∂i=(∂/∂xi), ∂i=(∂/∂xi). Megemlítjük, hogy az irodalomban a koordináták szerint képzett parciális deriváltak rövidített jelölésére gyakran használják az alábbi szimbólumokat: φ,i=(∂φ/∂xi), φ,i=(∂φ/∂xi). A differenciálás operátorainak ilyen alakban való felírása szembetűnően mutatja a segítségükkel képzett mennyiségek kontravariáns vagy kovariáns jellegét.

[11] Az x0,x1,x2,x3 integrálási változóknak az új x′0,x′1,x′2,x′3 változókra való cseréjekor a dΩ integrálási elemet JdΩ′-vel kell helyettesítenünk, ahol dΩ′=dx′0dx′1dx′2dx′3, a J=(∂(x′0,x′1,x′2,x′3)/∂(x0,x1,x2,x3)) mennyiség pedig a transzformáció Jacobi-determinánsa. x′i=αkixk alakú lineáris transzformációra a Jacobi-determináns az |αki| determinánssal egyezik meg, és ez (a koordináta-rendszer elforgatásai esetén) 1-gyel egyenlő, dΩ tehát invariáns.