Ugrás a tartalomhoz

ELMÉLETI FIZIKA II. - Klasszikus erőterek

L. D. Landau, E. M. Lifsic (2014)

Typotex

4 §. Lorentz-transzformáció

4 §. Lorentz-transzformáció

Az alábbiakban meghatározzuk az egyik inerciarendszerről a másikra való áttérés transzformációs képleteit, vagyis azokat az összefüggéseket, amelyek segítségével egy esemény valamely K inerciarendszerbeli x, y, z, t koordinátáinak ismeretében ki tudjuk számítani ugyanannak az eseménynek egy K′ inerciarendszerbeli x′, y′, z′, t′ koordinátáit.

A klasszikus mechanikában e feladat megoldása nagyon egyszerű. Az abszolút idő feltételezésének megfelelően t=t′; továbbá ha a koordinátatengelyeket úgy választjuk, ahogy azt eddigi példáinkban tettük (tehát az x és x′ tengelyek egybeesnek, az y, z tengelyek párhuzamosak az y′, z′ tengelyekkel, a mozgás pedig az x és x′ tengelyek mentén történik), akkor az y és z koordináták nyilván megegyeznek az y′és z′ koordinátákkal, az x és x′ koordináták pedig azzal a távolsággal különböznek, amelyet az egyik rendszer a másikhoz képest megtett. Ha az időt attól a pillanattól mérjük, amikor a két rendszer koordinátái egybeestek, továbbá ha a K′ rendszer sebessége K-hoz képest V, akkor ez a szóban forgó távolság Vt. Tehát

1.12. egyenlet - (4.1)

x = x + V t , y = y , z = z , t = t .

Ezek a képletek írják le a Galilei-transzformációt. Könnyű belátni, hogy ez a transzformáció nem tesz eleget a relativitási elvnek: két esemény ívhossza egy ilyen transzformáció alkalmával nem marad változatlan.

A relativisztikus transzformációs képletek éppen abból a követelményből kiindulva határozhatók meg, hogy a transzformáció során az események között az intervallumok változzanak.

Amint a  2. §-ban láttuk: két esemény intervallumát a megfelelő két világpont távolságának tekinthetjük a négydimenziós koordináta-rendszerben. Azt mondhatjuk tehát, hogy a keresett transzformáció szükségképpen minden távolságot változatlanul hagy az x, y, z, ct négydimenziós térben. Ilyen transzformáció azonban csak a párhuzamos eltolás és a koordináta-rendszer forgatása. Közülük a koordináta-rendszernek önmagával való párhuzamos eltolása érdektelen, mivel az nem jelent mást, mint a térkoordináták origójának eltolását és az időmérés kezdőpillanatának megváltoztatását. Tehát a keresett transzformáció matematikailag az x, y, z, t négydimenziós koordináta-rendszer elforgatásaként adható meg.

A négydimenziós térben minden forgatást hat speciális forgatásból lehet összetenni, mégpedig az xy, zy, xz, tx, ty, tz síkokban való forgatásokból (ahhoz hasonlóan, ahogy a közönséges térben minden forgatást három, az xy, zy és xz síkokban való forgatásból tehetünk össze). E hat forgatásból az első három csupán a térkoordinátákat transzformálja; ezek a szokásos háromdimenziós forgatások.

Vizsgáljuk ezek után a tx síkbeli elforgatást; ebben az esetben az y és z koordináták változatlanok maradnak. Az ilyen transzformációnak speciálisan a (ct)2–x2 különbséget (a ct, x pont origótól mért „távolságának” négyzetét) kell változatlanul hagynia. A régi és az új koordináták kapcsolata e transzformáció esetében a legáltalánosabb alakban az alábbi képletekkel adható meg:

1.13. egyenlet - (4.2)

x = x ch ψ + c t sh ψ , c t = x sh ψ + c t ch ψ ,

ahol ψ az „elfordulás szöge”. Könnyen beláthatjuk, hogy a (4.2) transzformáció esetén valóban fennáll a c2t2–x2=c2t′2–x′2 egyenlőség. A (4.2) összefüggések abban különböznek a koordinátatengelyek forgatását megadó szokásos képletektől, hogy bennük trigonometrikus függvények helyett hiperbolikus függvények szerepelnek. Ebben nyilvánul meg a pszeudoeuklideszi és az euklideszi geometria különbsége.

Írjuk most fel a K inerciarendszerről olyan K′ inerciarendszerre történő áttérés szabályait, amely K-hoz képest V sebességgel mozog az x tengely mentén. Nyilvánvaló, hogy a transzformáció ebben az esetben csupán az x koordinátát és a t időt változtatja meg. Ezért a régi és az új koordináták kapcsolata (4.2) alakú, csupán a ψ szöget kell meghatároznunk, mely csak a V relatív sebességtől függhet.[3]

Vizsgáljuk a K rendszerből K′ origójának a mozgását. Ekkor x′=0, a (4.2) képletek

x = c t sh ψ , c t = c t ch ψ

alakúak lesznek; egyiket a másikkal elosztva:

x c t = th ψ .

Nyilvánvaló azonban, hogy x∕t a K′ rendszernek a K-hoz viszonyított V sebessége. Tehát

th ψ = V c .

Ebből

sh ψ = V c 1 V 2 c 2 , ch ψ = 1 1 V 2 c 2 .

Ezeket az összefüggéseket (4.2)-be helyettesítve, kapjuk, hogy

1.14. egyenlet - (4.3)

x = x + V t 1 V 2 c 2 , y = y , z = z , t = t + V c 2 x 1 V 2 c 2 .

Ezek a keresett összefüggések. A (4.3) képletek írják le a Lorentz-transzformációt, amely a későbbiek szempontjából alapvető jelentőségű.

Az x′, y′, z′, t′ koordinátákat x, y, z, t-vel kifejező inverz összefüggéseket V-nek –V-vel való helyettesítésével kaphatjuk meg a legegyszerűbben, (minthogy a K rendszer a K′-höz képest –V sebességgel mozog). Ezeket az inverz képleteket közvetlenül is megkaphatjuk a (4.3) egyenletnek x′, y′, z′, t′-re való megoldásával.

Könnyű belátni (4.3) segítségével, hogy a c→∞ határesetben a Lorentz-transzformáció képletei valóban átmennek a klasszikus mechanikában megismert Galilei-transzformáció képleteibe.

V>c esetén a (4.3) összefüggések szerint az x, t koordináták képzetessé válnak. Ebből arra kell következtetnünk, hogy a fénysebességnél nagyobb sebességű mozgás nem lehetséges. Sőt olyan koordináta-rendszert sem használhatunk, amely a fénysebességgel megegyező sebességgel mozog – ebben az esetben ui. a (4.3) képletben a nevező zérussá válna.

A fénysebességhez képest kis sebességek esetén (4.3) helyett az alábbi közelítő képleteket kapjuk:

1.15. egyenlet - (4.4)

x = x + V t , y = y , z = z , t = t + V c 2 x .

Tekintsük a K rendszerben nyugvó, x tengellyel párhuzamos vonalzót. Ennek hosszát a K rendszer megfigyelője Δx=x2–x1 értékűnek méri. (x2 és x1 a vonalzó két végének a koordinátái a K rendszerben.) Mekkora ugyanennek a vonalzónak a hossza a K′ rendszerben? E célból meg kell határoznunk valamilyen t′ időpillanatban a vonalzó végeinek koordinátáit (x2′ és x1′) ebben a rendszerben. (4.3) szerint:

x 1 = x 1 + V t 1 V 2 c 2 , x 2 = x 2 + V t 1 V 2 c 2

A rúd hossza a K′ rendszerben Δx′=x2′–x1′; kivonva x2-ből x1-et, az találjuk, hogy,

Δ x = Δ x 1 V 2 c 2 .

A rúd sajáthosszának nevezzük a rúdnak abban a koordináta-rendszerben mért hosszúságát, amelyben az nyugalomban van. Jelölje l0=Δx a sajáthosszat. Valamilyen másik K′ rendszerben a rúd hossza legyen l. Ekkor

1.16. egyenlet - (4.5)

l = l 0 1 V 2 c 2 .

A rúdhossza tehát abban a rendszerben a legnagyobb, amelyikben nyugalomban van. A rúd hossza olyan rendszerben, amelyben az V sebességgel mozog, √(1–V2∕c2)-szer rövidebb. A speciális relativitáselméletnek ezt az eredményét Lorentz-kontrakciónak nevezzük.

Minthogy a test transzverzális méretei mozgása folyamán nem változnak, a test 𝒱 térfogata l-hez hasonlóan csökken:

1.17. egyenlet - (4.6)

𝒱 = 𝒱 0 1 V 2 c 2 ,

ahol 𝒱0 a test sajáttérfogata.

A Lorentz-transzformáció segítségével levezethetjük a sajátidőre vonatkozó ismert eredményünket is (3.§). Legyen egy óra nyugalomban a K′ rendszerben. Két eseményként válasszunk olyan eseményeket, amelyek a K′ rendszerben a térnek ugyanabban az x′, y′, z′, pontjában mennek végbe. E két esemény közt eltelt idő a K′ rendszerben legyen Δt′=t2′–t1′. Határozzuk most meg azt a Δt időtartamot, amely a K rendszerben ugyanezt a két eseményt elválasztja. (4.3)-ból azt kapjuk, hogy

t 1 = t 1 + V c 2 x 1 V 2 c 2 , t 2 = t 2 + V c 2 x 1 V 2 c 2 .

Az egyiket a másikból kivonva:

t 2 t 1 = Δ t = Δ t 1 V 2 c 2 ,

teljes egyezésben a (3.1)-gyel.

Végül megemlítjük a Lorentz-transzformációnak még egy olyan általános tulajdonságát, amelyben különbözik a Galilei-transzformációtól. A Galilei-transzformációk egymással felcserélhetők, ami azt jelenti, hogy két, egymást követő Galilei-transzformáció (különböző V1 és V2 sebességekkel) végeredménye független végrehajtásuk sorrendjétől. Két, egymást követő Lorentz-transzformáció eredménye viszont általában függ elvégzésük sorrendjétől. Tisztán matematikai szempontból ez a tulajdonság már abból látható, hogy a Lorentz-transzformációt formálisan a négydimenziós koordinátatérben forgatásként értelmeztük. Ismeretes, hogy két (különböző tengely körül végzett) forgatás eredménye függ a forgatás végrehajtásának sorrendjétől. Kivételt csak a párhuzamos V1 és V2 vektoroknak megfelelő transzformációk képeznek (ami a koordináták négydimenziós terében azonos tengely körül elvégzett két forgatásnak felel meg).



[3] A félreértések elkerülése végett megjegyezzük, hogy V-vel mindenütt a két inerciarendszer állandó relatív sebességét jelöljük, v-vel pedig a mozgó részecske sebességét; az utóbbinak egyáltalán nem kell állandónak lennie.