Ugrás a tartalomhoz

Bevezetés az algebrába

Kiss Emil (2014)

Typotex Kiadó

Bevezetés az algebrába

Bevezetés az algebrába

Kiss Emil

Lektorálta: Dr. Freud Róbert

Felelős kiadó: Votisky Zsuzsa

Felelős szerkesztő: Gerner József

Az elektronikus kiadást Csépány Gergely készítette

2007


Tartalom

Bevezetés
1. Komplex számok
Számolás maradékokkal
A harmadfokú egyenlet megoldásának problémája
Számolás komplex számokkal
A komplex számok trigonometrikus alakja
Egységgyökök és rendjeik
A komplex számok precíz bevezetése
Összefoglaló
2. Polinomok
A polinom fogalma
A szokásos számolási szabályok
A polinomok alaptulajdonságai
Polinomfüggvények és gyökök
A gyöktényezős alak
Többhatározatlanú polinomok
Szimmetrikus polinomok
Összefoglaló
3. A polinomok számelmélete
Számelméleti alapfogalmak
A maradékos osztás
Gyökök és irreducibilitás
Egész együtthatós polinomok
Irreducibilitás a racionális számtest fölött
A derivált és a többszörös gyökök
A rezultáns és a diszkrimináns
A harmad- és negyedfokú egyenlet
A körosztási polinom
Összefoglaló
4. Csoportok
Példák szimmetriacsoportokra
Permutációk előjele és ciklusfelbontása
Izomorfizmus, ciklikus csoportok
Mellékosztályok, Lagrange tétele
Pálya és stabilizátor
Generált részcsoport
Homomorfizmusok és normálosztók
Hogyan keressünk normálosztót?
A direkt szorzat
Szabad csoportok és definiáló relációk
Prímhatványrendű csoportok, Sylow tételei
Permutációcsoportok
Feloldható és nilpotens csoportok
Véges egyszerű csoportok
Összefoglaló
5. Gyűrűk
Részgyűrű, ideál, direkt szorzat
Faktorgyűrű
Egyszerű gyűrűk
Láncfeltételek
A számelmélet alaptétele
A polinomgyűrű ideáljai
Hányadostest
Karakterisztika és prímtest
Rendezett gyűrűk és testek
Minimálpolinom algebrákban
A számfogalom lezárása
Összefoglaló
6. Galois-elmélet
Testbővítések
A szorzástétel és következményei
Normális bővítések
Testbővítések konstrukciója
Szimmetriák és közbülső testek
A Galois-elmélet főtétele
Véges testek
Geometriai szerkeszthetőség
Egyenletek gyökjelekkel való megoldhatósága
A legfeljebb negyedfokú egyenletek
Összefoglaló
7. Modulusok
Részmodulusok, homomorfizmusok
Direkt összeg és függetlenség
Elem rendje modulusban
Végesen generált modulusok
A felbontás egyértelműsége
A Jordan-féle normálalak
Homomorfizmusok csoportjai
A tenzorszorzat
Nemkommutatív gyűrűk
Összefoglaló
8. Általános algebrák, hálók
Hálók
Algebrai struktúrák
Kifejezések, polinomok, szabad algebrák
Varietások
Disztributív hálók és Boole-algebrák
Moduláris hálók
Galois-kapcsolat és fogalomanalízis
Kategóriák és funktorok
Kitekintés
Összefoglaló
9. Hibajavító kódok
Alapfogalmak
Lineáris kódok
Polinomkódok
Ciklikus kódok
A CD matematikája
Összefoglaló
10. Utószó: Mi az algebra?
A. Szabó Endre: Csoportelméleti kalandozások
Exponenciális leképezés
Az általános lineáris csoport
Végesen generált, végesen prezentált csoportok
Reziduálisan véges csoportok
Mozgásegyenletek a fizikában
A téridő szimmetriái
Utazás az Androméda-ködbe
B. Útmutatások, ötletek a feladatokhoz
Komplex számok
Polinomok
A polinomok számelmélete
Csoportok
Gyűrűk
Galois-elmélet
Modulusok
Általános algebrák, hálók
Hibajavító kódok
C. Megoldások, eredmények
D. Az előismeretek összefoglalása
Halmazelmélet és logika
Véges matematika
Analízis
Számelmélet
Lineáris algebra
E. Példák, táblázatok
Néhány körosztási polinom
Konkrét csoportok
A görög betűk táblázata
Angol–magyar algebrai kisszótár
F. Számítógépes programok
G. Névmutató
Névmutató
H. Jelölések
Tárgymutató
I. Irodalom