Ugrás a tartalomhoz

Váltakozó áramú rendszerek

Berta István , Kádár István , Szabó László

Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Villamos Energetika Tanszék

1. fejezet - Váltakozó áramú rendszerek

1. fejezet - Váltakozó áramú rendszerek

A mágneses tér alapfogalmai, alaptörvényei

[1]-[6]

A nyugvó villamos töltések közötti erőhatásokat a villamos tér közvetíti (Coulomb törvénye).

A mozgó töltések (villamos áramot vivő vezetők) között is fellép erőhatás, amit a mágneses tér közvetít.

Egyenletesen mozgó töltések (egyenáram) hatására állandó, változó sebességgel mozgó (gyorsuló vagy lassuló) töltések hatására változó mágneses tér keletkezik.

A mágneses tér mozgás, változás esetén fizikai erőhatást fejt ki a töltésekre, ami töltés-szétválasztó (feszültséget indukáló) hatással jár.

A mágneses tér

Ha vákuumban (vagy levegőben) elhelyezkedő, a keresztmetszetükhöz képest hosszú párhuzamos vezetőkben a töltések egyenletes sebességgel áramlanak (egyenáram folyik), akkor a vezetők között állandó nagyságú erőhatás lép fel. Ennek az erőnek a nagyságát az áramokkal kifejezett erőtörvény írja le, amely szerint levegőben, F 1=F 2=F jelöléssel

Image

1. ábra: Áramjárta vezetőkre ható erők

Ha I 1=I 2=1 A és ℓ=a=1 m, akkor F=2∙10-7 N(=(VAs)/m),

ebből következően , itt a vákuum permeabilitása. Ezt az összefüggést az 1 A nagyságú áram definiálására is alkalmazzák.

Az erő nagysága a μ 0 permeabilitást tartalmazó kifejezéssel

Az erő iránya a vezetők között azonos áramirány mellett vonzó, ellenkező irányú áramok esetén taszító (a hurok tágul).

Egyenáramokat feltételezve a mágneses tér jellemzőinek értelmezése egyszerűbb.

Az ábrán I 2 áramot vivő vezetőre ható F 2 erő fellépését úgy is magyarázhatjuk, hogy az I 1 áram egyenletes sebességgel áramló töltései a vezető körül a tér különleges állapotát hozzák létre és ez az állapot – a mágneses tér – hat az I 2 áramot vivő vezető egyenletes sebességgel áramló töltéseire.

A mágneses tér egyik jellemzője a mágneses térerősség. Homogén közegben az I 1 áram által létrehozott mágneses térerősség:

H1=I1/(2πa), amivel az I 2 áramot vivő vezetőre ható F 2 erő kifejezhető:

Image

2. ábra: Áramjárta egyenes vezető mágneses tere

Inhomogén és ferromágneses közegben a H térerősség számítása bonyolultabb, a gerjesztési törvény szerint kell eljárni.

A H térerősség vektormennyiség, iránya a tér minden pontjában megegyezik a mágnestű északi (É) irányával, ami egyetlen vezető esetén az áram irányában haladó jobbmenetű csavar forgásiránya, SI mértékegysége [H]=A/m.

A térerősséget a tér minden pontjában irányított erővonalakkal ábrázolják. A mágneses térerősség erővonalai önmagukban záródnak, nem keletkeznek és nem végződnek.

Image

3. ábra: Áramjárta vezetőre ható erő egy másik vezető térben

Egy H erősségű mágneses térbe helyezett, I áramot vivő hosszúságú vezetőre ható erő:

, ahol Ī iránya a pozitív töltésáramlás iránya. Az ábrán látható esetre:

Egy 1 A áramot vivő vezetőtől 1 m távolságra a térerősség nagysága H=0,159 A/m, egy H=1 A/m erősségű mágneses térbe helyezett 1 A áramot vivő vezetőre ható erő nagysága F=4π10-7 N/m.

A vizsgált teret kitöltő anyagtól függő térjellemző a B mágneses indukció, ami szintén vektormennyiség, SI mértékegysége Tesla [1] tiszteletére

Adott H térerősségnél

itt μ r –  a teret kitöltő közeg anyagára jellemző dimenzió nélküli szám, a relatív permeabilitás. A relatív permeabilitás gyakran nem állandó, a térerősségtől és a kiindulási mágneses állapottól is függ.

A H=1 A/m erősségű mágneses tér indukciója levegőben B=4π10-7 T.

A B indukció iránya általában H irányával egyezik, a tér vizsgált pontjába helyezett iránytű északi sarkának irányába mutat, mágnesen (pl. az iránytűn) belül a déli pólustól az északi, mágnesen kívül az északitól a déli felé. Az indukcióvonalak tehát a mágnes északi pólusából lépnek ki és a déli felé haladnak. Az iránytű északi pólusa a földrajzi északi sark felé mutat.

Image

4. ábra: A mágneses tér definíció szerinti iránya

Bizonyos anyagok – a ferromágneses anyagok – belsejében az indukció jelentősen megnő a vákuumhoz képest. Ennek egyszerű, szemléletes magyarázata az ilyen anyagokban meglévő molekuláris köráramok hozzájárulása a külső tér indukciójához. μ r értéke azt fejezi ki, hogy az indukció hányszorosára nő az anyag nélküli (vákuum-beli) állapothoz képest, nagysága:

1≤μ r≤103-106.

μ r meghatározása bonyolult számítással vagy méréssel történik.

A mágneses indukciót is indukcióvonalakkal szemléltetik.

Egy B indukciójú mágneses térbe helyezett, I áramot vivő hosszúságú vezetőre ható erő tetszőleges anyagú közegben:

Az ábrán látható esetre

Egy 1 T indukciójú mágneses térbe helyezett 1 A áramot vivő vezetőre ható erő nagysága F=1 N/m.

Az indukció adott felületre vett integrálja a felület fluxusa, ami skalár mennyiség.

, homogén térben Φ=BA, SI mértékegysége Weber [2] tiszteletére

[Φ]=Wb =weber=Vs.

A mágneses tér szemléltetésénél az erővonalakat gyakran fluxusvonalaknak értelmezik, a tér azon részén, ahol nagyobb az indukció, ott sűrűbbek a vonalak.

1 T indukciójú homogén mágneses térben az 1 m2 felületen áthaladó fluxus nagysága 1 Wb.

A magyar műszaki nyelvben az indukció szó két fogalmat is jelent:

- a mágneses tér jellemzője (tulajdonképpen fluxus sűrűség),

- jelenség, ami a villamos vezetőben feszültséget hoz létre (tulajdonképpen töltésszétválasztás).

A gerjesztési törvény (Ampère [3] törvénye)

A mágneses körök számításának legfontosabb törvénye szerint a térerősség vektor vonalmenti integrálja tetszőleges zárt görbe mentén egyenlő a görbével határolt A felületen áthaladó áramok algebrai összegével, a felület Θ gerjesztésével:

Amennyiben a vizsgált görbe homogén térerősségű szakaszokon halad keresztül, akkor a bal oldalon álló integrál, ha a töltéshordozók koncentráltan, villamos vezetőkben áramlanak, akkor a jobb oldalon álló integrál összegezéssé egyszerűsödik:

Állandó μ permeabilitás esetén a gerjesztési törvény más alakban is felírható:

itt μ=μ 0 μ r.

Példa

Vizsgáljunk egy I áramot vivő vezetőt. Tőle a távolságra a mágneses térerősség:

Ha (nem ferromágneses közegben) a tetszőleges zárt görbe a vezetőtől a távolságra rajzolt (a sugarú) körív és a körüljárás iránya megegyezik irányával, akkor

Hasonló eredményt kapunk, ha különböző köríveken záródó görbét vizsgálunk (nem ferromágneses közegben) az 5. ábra szerint:

Image

5. ábra: A gerjesztési törvény illusztrálása

1 mentén H1=I/(2πr1),

3 és 4 mentén H merőleges az integrálási útra, így a skalár szorzat ,

2 mentén H2=I/(2πr2).

A térerősség ismeretében a létrehozó vagy a létrehozásához szükséges gerjesztés mindig kiszámítható. ││=const. görbe mentén történő integráláskor . Ha a választott görbe homogén szakaszokra bontható, akkor

A mágneses erővonalkép (fluxuskép)

Áramjárta körvezető

Image

6. ábra: Áramjárta körvezető (hurok, menet) mágneses tere

Szolenoid, toroid

A szolenoid tekercsen belül koncentrálódik a mágneses tér, a tekercsen kívül szétszóródik, ezért elhanyagolható, amennyiben a tekercs hossza sokkal nagyobb az átmérőjénél, »d. Hasonló a helyzet toroid tekercsnél D»d esetén.

Ezeknél a tekercselrendezéseknél az egyes vezetők (menetek) sorba kapcsoltak, bennük azonos áram folyik, ezért a gerjesztési törvény alkalmazásakor Θ=H =NI, ahol N - a menetszám (integrálásnál a zárt görbe által körülfogott vezetők száma).

Image

7. ábra: A szolenoid és a toroid mágneses tere

Image

8. ábra: Jobb- és balmenetű tekercs mágneses tere

Áramjárta vezetőre ható erő iránya

Szemléltetése homogén mágneses térben, az erőre kapott összefüggés alapján:

Image

9. ábra: Áramjárta vezetőre ható erő homogén térben

Hasznos és szórt mágneses tér

Csatolt tekercseknél (ilyen a transzformátor és a forgó villamos gép állórész-forgórész tekercselése) az egyik tekercs által létrehozott fluxusnak csak egy része kapcsolódik a másikkal, a fluxus többi része kiszóródik. Ez utóbbit nevezik szórt fluxusnak. A szórás mértékét a σ szórási tényezővel jellemzik. Az irodalomban több definíció is található:

vagy

ahol a ϕ e eredő (teljes) fluxus a ϕ s szórási és ϕ h hasznos fluxus összege ϕ e=ϕ s+ϕ h.

Bizonyos esetekben a szórásnak fontos szerepe van, pl. a szórási induktivitás korlátozza a zárlati áramot.

A mágneses tér törési törvényei

Különböző permeabilitású anyagok határfelületén a térerősség és a indukció eltérően halad át.

Image

10. ábra: Az indukció vektor törése

A határréteg egy elemi dA felületén áthaladó fluxus mindkét réteg felől megközelítve azonos nagyságú. Mivel az indukcióvonalak mindig zártak, a teljes fluxus a két anyagban szintén azonos:

vagyis a indukcióvektor normális összetevője változatlan értékű marad.

Image

11. ábra: A térerősség vektor törése

A gerjesztési törvény értelmében a térerősség zárt görbére vett integrálja nullát kell adjon, ha a határrétegben nincs gerjesztés (nem folyik áram):

vagyis a térerősség vektor tangenciális összetevője marad változatlan értékű.

Határrétegnél az indukció vektor érintőleges, a térerősség vektor normális összetevője változik.

A fentiek alapján H 1 sin α 1=H 2 sin α 2, vagy a térerősséget az indukcióval felírva:

Ha μ r1>>μ r2 (pl. vas-levegő határon μ rv=106, μ r =1), akkor α 1>>α 2, vagyis α 1~90°, α 2~0. Ez azt jelenti, hogy az erővonalak a vasból a levegőbe közel merőlegesen lépnek ki.

Image

12. ábra: Az erővonalak iránya vas-levegő határon

Az indukció törvény (Faraday [4] törvénye)

Az elektrotechnika egyik legfontosabb alaptörvénye, az általa leírt jelenség felfedezése tette lehetővé a villamos energia nagy teljesítményben való előállítását és elterjedését.

Ha egy vezetőkör – hurok áramkör, menet – által körülfogott fluxus bármilyen okból megváltozik, a vezetőben feszültség keletkezik (indukálódik) – villamos tér jön létre.

Az indukált feszültség arányos a fluxus időegység alatti megváltozásával.

a) Nyugalmi indukcióról, transzformátoros (indukált) feszültségről beszélünk, amikor a vezető nyugalomban van (a vezető térben áll), a fluxus pedig időben változik áramváltozás vagy a mágneses kör megváltozása miatt.

b) Mozgási indukció akkor lép fel, mozgási (rendszerint forgási) indukált feszültség akkor keletkezik, amikor (állandó) mágneses térben a vezető mozgást végez és eközben „metszi” a mágneses tér erővonalait, vagyis a mozgásnak van az erővonalakra merőleges összetevője.

Az indukció során a mágneses tér megváltozása villamos teret hoz létre.

A fluxusváltozás helyett az indukált feszültség fogalmát használva a mágneses jelenséget villamos áramköri jelenséggel helyettesítjük.

A nyugalmi és a mozgási indukció a gyakorlatban sokszor egyidejűleg van jelen.

Fontos: ha a térben változó fluxusok vannak, akkor a villamos tér nem potenciálos, két tetszőleges pont között a feszültség nem független az úttól! – ugyanis függ a körülzárt fluxustól, illetve annak változásától. A villamos potenciálnak mint térjellemzőnek ilyenkor nincs értelme.

Zárt hurokban az indukált feszültség a hurokellenállásnak megfelelő áramot létesít. Az ellenállás ohmos feszültségesése – ha a körben nincs más forrás, feszültség-generátor – egyensúlyt tart az indukált feszültséggel, Kirchhoff huroktörvénye alapján:

vagy általános esetben a huroktörvény az ohmos feszültségesések, a belső és indukált feszültségek eredőjére igaz:

Itt U i az indukált, U b a nem indukció útján (pl. galvánelemmel) létrehozott belső feszültséget jelenti.

A nyugalmi indukció

A fluxusváltozás és az töltésszétválasztó villamos térerősség pozitív iránya a 13. ábra szerinti,

Image

13. ábra: A nyugalmi indukció pozitív irányai

Az indukált feszültség nem a fluxus, hanem a fluxusváltozás nagyságától és irányától függ.

Image

14. ábra: Az indukált feszültség polaritása különböző irányú fluxus és fluxusváltozás esetén

A tekercsfluxus

Amennyiben a változó fluxust nem egyetlen hurok, hanem N sorba kapcsolt menetből álló tekercs fogja körül és a menetek azonos irányúak (azonos irányban gerjesztenek), akkor az egyes menetekben indukált feszültségek összeadódnak. Ha minden menet azonos nagyságú fluxust fog át, akkor az eredő indukált feszültség

A tekercs egy-egy menetével kapcsolódó fluxusok összegezésével kapjuk a ψ=N ϕ tekercsfluxust (vagy fluxuskapcsolódást), amivel a tekercs eredő indukált feszültsége:

A ψ tekercsfluxus mértékegysége megegyezik a ϕ fluxus mértékegységével.

Lenz [5] törvénye

Az energia megmaradásának elvéből következő törvény szerint az indukció eredményeként keletkező áramok és erők olyan hatásúak, hogy gátolják az előidéző állapotváltozást.

A fluxusváltozás következtében indukálódó Ui=dϕ/dt feszültség zárt áramkörben olyan i áramot kelt, amelyik az indukált feszültséget létrehozó fluxusváltozást gátló mágneses teret (mágneses tér változást) hoz létre, az indukáló hatást csökkenti. A keletkező mágneses tér a kiindulási állapot fenntartására törekszik.

Image

15. ábra: Az indukált feszültség keltette áram mágneses hatása

A mozgási indukció

Feszültség indukálódik egy időben állandó mágneses tér mentén mozgatott vezetőben is, mivel a vezetővel együtt mozgó töltésekre erő hat. (Áramjárta vezetőnél a fellépő erő: .) Ez az erő tulajdonképpen a töltésekre hat, azok adják át a vezetőnek.

Ī* nem „igazi” áram, de, mivel töltéshordozó mozgás, ezért egy erőhatás számítható belőle.

Homogén mágneses térben a B indukcióvonalakra és saját magára merőleges irányban v sebességgel mozgatott vezető töltéseire a vezető vonalában töltésszétválasztó erő lép fel, tehát villamos tér keletkezik. A villamos térerő a pozitív töltésekre ható erő irányába mutat:

Image

16. ábra: A mozgási indukció lehetséges illusztrációja

Ennek a térerőnek a hatására a vezető két végén különnemű töltések halmozódnak fel, ami indukált feszültség létrejöttét jelenti. Egy hosszúságú vezető két vége között mérhető feszültség (homogén tér feltételezésével)

ha a feszültség pozitív iránya a (+) töltések felől a (-) töltések felé mutat. Ez a feszültség belső feszültség jellegű, a töltés-szétválasztó E térerő (elektromotoros erő) hatására jön létre

Az indukált feszültség zárt áramkörben egy (valódi) áramot indít. Az áram és az indukció kölcsönhatásaként olyan irányú erő lép fel a vezetőn, amelyik – Lenz törvénye értelmében – annak mozgása ellen hat. Az erővonalak a mozgás irányában „sűrűsödnek”. Ez azt jelenti, hogy ha zárt az áramkör, a vezető mozgatásához folyamatosan erőre, energiára van szükség.

Két erőhatást látunk:

        - a vezetővel együtt mozgó töltésekre ható erő, aminek következménye az E villamos térerősség töltés-szétválasztó hatása és az U i indukált feszültség,

        - ennek a feszültségnek a hatására kialakuló áram következtében a vezetőre (a vezetőben mozgó töltésekre) ható erő.

E két erő iránya nem azonos.

Ellenőrző kérdések

1. Értelmezze az áramokkal kifejezett erőtörvényt.

2. Melyek a mágneses tér jellemzői?

3. Mi a mágneses térerősség, indukció fluxus?

4. Mi a mágneses permeabilitás?

5. Értelmezze a gerjesztési törvényt.

6. Értelmezze az indukció törvényt.

7. Illusztrálja a szórt fluxust.

8. Közelítően illusztrálja áramjárta vezető és vezető gyűrű mágneses terét.

9. Közelítően illusztrálja a szolenoid és a toroid mágneses terét.

10. Milyen elhanyagolással élnek a szolenoid és a toroid mágneses körének számításánál?

11. Mi a tekercsfluxus (fluxuskapcsolódás)?

12. Mi a mozgási indukció jelensége?

13. Mi a nyugalmi indukció jelensége?

14. Értelmezze Lenz törvényét nyugalmi és mozgási indukciónál.

15. Hogyan halad át a térerősség és a indukció különböző permeabilitású anyagok határfelületén?



[1] Tesla, Nikola (1856-1942) szerb származású mérnök, kutató

[2]  Weber, Wilhelm Eduard (1804-1891) német fizikus

[3]  Ampère, Andrè-Marie (1775-1836) francia fizikus, matematikus, vegyész

[4]  Faraday, Michael (1791-1867) angol fizikus

[5]  Lenz (Lenc), Heinrich Friedrich Emil (1804-1865) német származású fizikus