Ugrás a tartalomhoz

Adatstruktúrák és algoritmusok

Házy Attila, Nagy Ferenc (2009)

5. fejezet - Fák

5. fejezet - Fák

5.1. Gráfelméleti fogalmak, jelölések

5.1. Definíció. Legyen egy véges halmaz, pedig -beli rendezetlen elempárok véges rendszere. Ekkor a párt gráfnak nevezzük.

Vezessük be a következő jelöléseket egy gráf esetében:

  • (csúcsok száma)

  • (élek elemszáma)

Egy gráf nagyon sok probléma szemléltetésére szolgálhat, a legegyszerűbb például az úthálózat, telefonhálózat, de akár házassági problémát is ábrázolhatunk vele.

A gráfokat többféle szempontból is szokás csoportosítani. A legjelentősebb szempont az irányítottság.

5.2. Definíció. A rendezett párt irányított gráfnak (digráfnak) nevezzük. A rendezett pár elemeire tett kikötések:

véges halmaz, a -beli csúcsok halmaza.

bináris reláció a halmazon, az élek halmaza.

={ rendezett pár | } . Hurkok megengedettek.

Hurok az él.

5.3. Definíció. A rendezett párt irányítatlan gráfnak nevezzük. A rendezett pár elemeire tett kikötések:

véges halmaz, a -beli csúcsok halmaza.

bináris reláció a halmazon, az élek halmaza.

={ rendezetlen pár | } . Hurok nem megengedett.

Mint ahogy már fentebb utaltunk rá, a csúcsok közötti kapcsolat sokszor jelentheti út létezéset vagy kommunikáció lehetőséget. Ilyenkor gyakran költségek vagy súlyok tartoznak az élekhez, amelyek az út esetében időt vagy akar pénzt is jelenthetnek (gondoljunk csak az autópályákra, amelyek használatáért fizetni kell).

5.4. Definíció. Az a gráf (irányított vagy irányítatlan), amelynek minden éléhez egy számot (súlyt) rendelünk hozzá, hálózatnak (súlyozott gráfnak) nevezzük.

5.5. Megjegyzés. A súlyt rendszerint egy súlyfüggvény segítségével adunk meg: , egy él súlya .

Az ilyen gráfok sok helyen előfordulnak, például optimalizálási feladatokban, mint az utazó ügynök probléma. Az élhez rendelt érték lehet az él költsége, súlya vagy hossza az alkalmazástól függően.

5.6. Definíció. A gráf egymáshoz csatlakozó éleinek olyan sorozatát, amely egyetlen ponton sem megy át egynél többször, útnak nevezzük.

5.7. Definíció. Legyen adott egy irányított vagy irányítatlan gráf a élsúlyokkal. A gráf egy -ból -be menő útjának hossza az úton szereplő élek súlyának összege.

5.1.1. Gráfok ábrázolási módjai

Két módszert szokás használni egy gráf ábrázolására: az egyikben szomszédsági listákkal, a másikban szomszédsági mátrixszal adjuk meg a gráfot.

Rendszerint a szomszédsági listákon alapuló ábrázolást választják, mert ezzel ritka gráfok tömören ábrázolhatók.

5.8. Definíció. Egy gráfot ritkának nevezünk, ha sokkal kisebb, mint .

Ugyanakkor a csúcsmátrixos ábrázolás előnyösebb lehet sűrű gráfok esetén, vagy ha gyorsan kell eldönteni, hogy két csúcsot összeköt-e él.

5.9. Definíció. Egy gráfot sűrűnek nevezünk, ha megközelíti -et.

Szomszédsági listás

szomszédsági listás ábrázolása során egy tömböt használunk. Ez |V| darab listából áll, és az tömbben minden csúcshoz egy lista tartozik. Minden csúcs esetén az szomszédsági lista tartalmazza az összes olyan csúcsot, amelyre létezik él. Azaz: elemei az csúcs -beli szomszédjai. (Sokszor nem csúcsokat, hanem megfelelő mutatókat tartalmaz a lista.) A szomszédsági listákban a csúcsok sorrendje rendszerint tetszőleges.

Ha irányított gráf, akkor a szomszédsági listák hosszainak összege , hiszen egy élt úgy ábrázolunk, hogy -t felvesszük az listába. Ha irányítatlan gráf, akkor az összeg , mert irányítatlan él ábrázolása során -t betesszük szomszédsági listájába, és fordítva. Akár irányított, akár irányítatlan a gráf, a szomszédsági listás ábrázolás azzal a kedvező tulajdonsággal rendelkezik, hogy az ábrázoláshoz szükséges tárterület .

A szomszédsági listákat könnyen módosíthatjuk úgy, hogy azokkal súlyozott gráfokat ábrázolhassunk. Például, legyen súlyozott gráf súlyfüggvénnyel. Ekkor az él súlyát egyszerűen a csúcs mellett tároljuk szomszédsági listájában. A szomszédsági listás ábrázolás könnyen alkalmassá tehető sok gráfváltozat reprezentálására.

A szomszédsági listás ábrázolás hátránya, hogy nehéz eldönteni szerepel-e egy él a gráfban, hiszen ehhez az szomszédsági listában kell -t keresni. Ez a hátrány kiküszöbölhető csúcsmátrix használatval, ez azonban aszimptotikusan növeli a szükséges tárterület méretét.

Szomszédsági mátrixos

Ha egy gráfot szomszédsági mátrixszal (vagy más néven csúcsmátrixszal) ábrázolunk, feltesszük, hogy a csúcsokat tetszőleges módon megszámozzuk az 1,2, ... , értékekkel. A ábrázolásáhz használt csúcsmátrix mérete , és

A csúcsmátrix tárterültetet foglal el, függetlenül a gráf éleinek számától. Gyakran kifizetődő a csúcsmátrixból csak a főátlóban és az efölött szereplő elemeket tárolni, ezzel majdnem felére csökkenthetjük az ábrázoláshoz szükséges tárterület méretét.

A szomszédsági listás ábrázoláshoz hasonlóan csúcsmátrixokkal is reprezentálhatunk súlyozott gráfokat. Ha súlyozott gráf súlyfüggvénnyel, akkor az él súlyát a csúcsmátrix sorában és oszlopában tároljuk. Nem létező él esetén a mátrix megfelelő elemét nil-nek választjuk, noha sokszor célszerű ehelyett 0 vagy végtelen értéket használni.

A szomszédsági listák együttesen aszimptotikusan kevesebb tárterületet igényelnek, mint a csúcsmátrix, azonban a használat során hatékonyságban ugyanennyivel elmaradnak attól, így ha a gráf mérete nem túl nagy, akkor kedvezőbb a hatékonyabb és egyszerűbb csúcsmátrixos ábrázolást használni. Ha a gráf nem súlyozott, akkor a csúcsmátrixos ábrázolás tovább javítható. Ebben az esetben a mátrix elemei lehetnek bitek, így jelentősen csökkenthetjük a szükséges tárterület méretét.