Házy Attila, Nagy Ferenc (2009)
Tartalom
2.1. Definíció. Az oszthatóság
Azt mondjuk, hogy a egész szám osztja az
egész számot, ha az osztásnak zérus a maradéka, azaz, ha létezik olyan
egész szám, hogy
. Jelölésben:
. A
számot az
osztójának nevezzük. Az
szám a
többszöröse.
Prímszámnak nevezzük azt az 1-nél nagyobb egész számot, amelynek csak az 1 és saját maga a pozitív osztója.
2.3. Tétel. A maradékos osztás tétele
Ha egész szám,
pedig pozitív egész szám, akkor egyértelműen létezik olyan
és
egész szám, hogy
A szám neve hányados,
neve maradék. A hányados és a maradék felírható:
Azt mondjuk, hogy a egész szám az
és
egészek közös osztója, ha
mindkét számot osztja (azaz
és
).
2.5. Definíció. Lineáris kombináció
Az egész számot az
és
egészek (egész) lineáris kombinációjának nevezzük, ha létezik olyan
és
egész szám, hogy
. Az
és
számokat a lineáris kombináció együtthatóinak nevezzük. Az
és
számok összes lineáris kombinációjának halmazát
-vel jelöljük.
Speciálisan lineáris kombinációk az és az
számok is. Adott
egész előállításakor az
és
együtthatók nem egyértelműek, azaz ha léteznek, akkor több számpár is megfelelhet erre a célra, amint az az alábbi példából is látható.
2.1. Példa. Legyen két szám . Határozzuk meg az
értékeket az
,
együtthatókra!
2.6. Tétel. A közös osztó tulajdonságai
Legyen a egész az
és
egészek közös osztója. Akkor fennállnak az alábbi állítások:
[1.] vagy
.
[2.] Ha és
, akkor
.
[3.] A közös osztó osztója az és
szám minden lineáris kombinációjának is, azaz
-re
.