Ugrás a tartalomhoz

Matematikai statisztika

Tómács Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Centrális határeloszlási tétel

Centrális határeloszlási tétel

A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában központi szerepe van a standard normális eloszlásnak. Ennek okát mutatja a következő tétel.

1.100. Tétel (Centrális határeloszlási tétel). Legyenek független, azonos eloszlású, pozitív véges szórású valószínűségi változók. Ekkor

határeloszlása standard normális, azaz

minden esetén.

Speciálisan, ha függetlenek és paraméterű karakterisztikus eloszlásúak, akkor egy -edrendű paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó. Ennek várható értéke és szórásnégyzete . Erre alkalmazva a centrális határeloszlás tételét, kapjuk, hogy minden esetén

Ez az ún. Moivre–Laplace-tétel. Ez ekvivalens azzal, hogy és esetén

Így nagy és kicsiny esetén

Legyen egy valószínűségű esemény gyakorisága kísérlet után. Ábrázoljuk függvényében a értékeket, ahol . A következő ábra ezt mutatja és esetén.

A kísérletsorozatot megismételjük -szer. A kék vonalon ábrázoljuk a becsapódások számát vonaldiagrammal. A következő ábrán ez látható esetén.

Végül a vonaldiagramot normáljuk -nel és -szel, mely már összehasonlítható a standard normális eloszlás sűrűségfüggvényével.

A következő videóban az előző kísérletsorozatot folyamatában vizsgáljuk.

  V I D E Ó