Ugrás a tartalomhoz

Matematikai statisztika

Tómács Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Nagy számok törvényei

Nagy számok törvényei

1.96. Tétel (Csebisev-egyenlőtlenség). Ha véges szórással rendelkező valószínűségi változó, akkor minden esetén

Speciálisan, ha relatív gyakoriságot jelent, akkor kapjuk a következő fontos tételt.

1.97. Tétel (Bernoulli-féle nagy számok törvénye). Legyen az esemény relatív gyakorisága kísérlet után. Ekkor

minden esetén.

Tehát annak a valószínűsége, hogy az esemény relatív gyakorisága -nak az sugarú környezetén kívül legyen, az növelésével egyre kisebb, határértékben 0. Ez pontosan ráillik a Bernoulli-féle tapasztalatra.

A következő ábrán a hatos dobás relatív gyakoriságát láthatjuk szabályos kockával 10 dobássorozat után, 3000-től 3500 dobásig.

A kék vonal jelzi a hatos dobás valószínűségét, míg a zöld vonalak annak sugarú környezetét. Az ábrán láthatjuk, hogy a 10 dobássorozatból 8 esetén a relatív gyakoriság pontossággal megközelítette a valószínűséget a 3000-től 3500-ig terjedő intervallumon.

A következő videóban az előző kísérletsorozatot vizsgáljuk többféle paraméterezéssel.

  V I D E Ó  

Az előző videóban használt program letölthető innen: valdem.zip

A Bernoulli-féle nagy számok törvénye megfogalmazható valószínűségi változókkal is. Hajtsunk végre egy kísérletet -szer egymástól függetlenül. Ha egy esemény az -edik kísérletben bekövetkezik, akkor a valószínűségi változó értéke legyen 1, különben pedig 0. A valószínűségi változók ekkor paraméterű karakterisztikus eloszlású páronként független valószínűségi változók, melyeknek a számtani közepe az relatív gyakorisága, másrészt ekkor és . Így tehát bármely esetén

Más eloszlású valószínűségi változók számtani közepe is hasonló tulajdonságot mutat.

1.98. Tétel (Nagy számok gyenge törvénye). Legyenek véges várható értékű és szórású, azonos eloszlású, páronként független valószínűségi változók. Ekkor

minden esetén.

Tehát annak a valószínűsége, hogy a valószínűségi változók számtani közepe a várható érték sugarú környezetén kívül legyen, az növelésével egyre kisebb, határértékben 0.

A következő ábrán darab standard normális eloszlású páronként független valószínűségi változó számtani közepét láthatjuk függvényében -tól -ig, 20 kísérletsorozat után.

A kék vonal jelzi a várható értéket (ez most 0), míg a zöld vonalak annak sugarú környezetét. Az ábrán láthatjuk, hogy a 20 kísérletsorozatból 17 esetén a számtani közép pontossággal megközelítette a várható értéket a 29 500-tól 30 000-ig terjedő intervallumon.

A következő videóban az előző kísérletsorozatot vizsgáljuk többféle eloszlás esetén.

  V I D E Ó  

Két független standard normális eloszlású valószínűségi változó hányadosa Cauchy-eloszlású. Erről ismert, hogy nincs várható értéke. Így erre nem teljesül a nagy számok gyenge törvénye. Ezt szemlélteti a következő videó.

  V I D E Ó  

1.99. Tétel (Nagy számok Kolmogorov-féle erős törvénye). legyenek független, azonos eloszlású valószínűségi változók és . Ekkor

Ez a tétel az előzőnél erősebb állítást fogalmaz meg. Etemadi (1981) és Petrov (1987) eredményeiből kiderült, hogy a nagy számok Kolmogorov-féle erős törvényének állítása páronkénti függetlenség esetén is igaz marad.