Ugrás a tartalomhoz

Matematikai statisztika

Tómács Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Nevezetes eloszlások

Nevezetes eloszlások

Diszkrét egyenletes eloszlás

1.44. Definíció. Legyen a valószínűségi változó értékkészlete és

Ekkor -t diszkrét egyenletes eloszlásúnak nevezzük az halmazon.

1.45. Tétel. és .

Karakterisztikus eloszlás

1.46. Definíció. Az esemény indikátorváltozójának az

valószínűségi változót nevezzük, továbbá az -t paraméterű karakterisztikus eloszlásúnak nevezzük.

1.47. Tétel. és .

Binomiális eloszlás

1.48. Definíció. Legyen a valószínűségi változó értékkészlete és . Ha minden esetén

akkor -t -edrendű paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változónak nevezzük. Az ilyen eloszlású valószínűségi változók halmazát módon jelöljük.

Egy tetszőleges esemény gyakorisága kísérlet után -edrendű paraméterű binomiális eloszlású valószínűségi változó.

Az rendű paraméterű binomiális eloszlás megegyezik a paraméterű karakterisztikus eloszlással, vagyis a paraméterű karakterisztikus eloszlású valószínűségi változók halmaza .

Másrészt darab független paraméterű karakterisztikus eloszlású valószínűségi változó összege -edrendű paraméterű binomiális eloszlású.

1.49. Tétel. esetén és .

1.1. ábra. rendű paraméterű binomiális eloszlás vonaldiagramja

Poisson-eloszlás

1.50. Definíció. Legyen a valószínűségi változó értékkészlete, és

Ekkor -t paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változónak nevezzük.

1.2. ábra. paraméterű Poisson-eloszlás vonaldiagramja

1.51. Tétel. Ha egy paraméterű Poisson-eloszlású valószínűségi változó, akkor .

Egyenletes eloszlás

1.52. Definíció. Legyen abszolút folytonos valószínűségi változó, és . Ha sűrűségfüggvénye

akkor -t egyenletes eloszlású valószínűségi változónak nevezzük az intervallumon.

1.53. Tétel. Ha egyenletes eloszlású valószínűségi változó az intervallumon, akkor eloszlásfüggvénye

továbbá és .

Exponenciális eloszlás

1.54. Definíció. Legyen abszolút folytonos valószínűségi változó, és . Ha sűrűségfüggvénye

akkor -t paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változónak nevezzük. Az ilyen valószínűségi változók halmazát módon jelöljük.

1.55. Tétel. esetén , továbbá eloszlásfüggvénye

1.3. ábra. paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

1.4. ábra. paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

1.56. Definíció. A valószínűségi változót örökifjú tulajdonságúnak nevezzük, ha minden esetén.

1.57. Tétel. Egy abszolút folytonos valószínűségi változó pontosan akkor örökifjú tulajdonságú, ha exponenciális eloszlású.

Gamma-eloszlás

A következőkben szükségünk lesz az úgynevezett gamma-függvényre:

illetve ha , akkor .

1.5. ábra. A gamma-függvény grafikonja

1.58. Definíció. Legyen és a valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

Ekkor -t -edrendű paraméterű gamma-eloszlásúnak nevezzük. Az ilyen valószínűségi változók halmazát módon jelöljük.

A definíció következménye, hogy .

1.6. ábra. rendű paraméterű gamma-eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

1.7. ábra. rendű paraméterű gamma-eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

1.59. Tétel. esetén és .

1.60. Tétel. Ha és azonos paraméterű exponenciális eloszlású független valószínűségi változók, akkor .

1.61. Lemma. Ha és eloszlásfüggvénye , akkor .

1.8. ábra. grafikonja

Normális eloszlás

1.62. Definíció. A abszolút folytonos valószínűségi változót standard normális eloszlásúnak nevezzük, ha a sűrűségfüggvénye

1.9. ábra. Standard normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

A standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvényét -vel jelöljük, mely a sűrűségfüggvény definíciója szerint

1.10. ábra. Standard normális eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

-re nincs zárt formula, közelítő értékeinek kiszámítására például a Taylor-sora használható:

Megemlítjük még a egy egyszerű közelítő formuláját. Johnson és Kotz 1970-ben bizonyították (lásd [6]), hogy az

kifejezéssel esetén -nél kisebb hibával közelíthető , ahol

Mivel páros függvény, ezért minden esetén .

1.63. Tétel. Ha standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor és .

1.64. Definíció. Legyen standard normális eloszlású valószínűségi változó, és . Ekkor a valószínűségi változót és paraméterű normális eloszlásúnak nevezzük. Az ilyen valószínűségi változók halmazát módon jelöljük.

Definíció alapján a standard normális eloszlású valószínűségi változók halmaza .

1.65. Tétel. esetén , , továbbá eloszlásfüggvénye

illetve sűrűségfüggvénye

1.66. Tétel. Ha független, normális eloszlású valószínűségi változók, akkor is normális eloszlású.

1.67. Tétel. Ha normális eloszlású valószínűségi változók és minden esetén , akkor függetlenek.

1.68. Definíció. A valószínűségi változó eloszlásának ferdesége illetve lapultsága

feltéve, hogy ezek a kifejezések léteznek.

1.69. Tétel. Ha normális eloszlású valószínűségi változó, akkor az eloszlásának ferdesége és lapultsága is 0.

Ha , akkor közelítőleg standard normális eloszlású (lásd Moivre–Laplace-tétel). A közelítés akkor tekinthető megfelelően pontosnak, ha

Többdimenziós normális eloszlás

1.70. Definíció. Legyenek független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ekkor az valószínűségi vektorváltozót -dimenziós standard normális eloszlásúnak nevezzük.

1.71. Definíció. Ha -dimenziós standard normális eloszlású valószínűségi vektorváltozó, egy típusú valós mátrix és , akkor a

valószínűségi vektorváltozót -dimenziós normális eloszlásúnak nevezzük. A -vel azonos eloszlású valószínűségi vektorváltozók halmazát módon jelöljük.

1.72. Tétel. Ha , akkor

továbbá ha , akkor sűrűségfüggvénye

1.73. Tétel. Legyen . Ekkor pontosan akkor korrelálatlanok, ha függetlenek.

1.74. Tétel. Ha , akkor létezik , hogy .

Khi-négyzet eloszlás

1.75. Definíció. Legyenek független standard normális eloszlású valószínűségi változók. Ekkor a valószínűségi változót szabadsági fokú khi-négyzet eloszlásúnak nevezzük. Az ilyen eloszlású valószínűségi változók halmazát módon jelöljük.

1.76. Tétel. Ha és függetlenek, akkor

1.77. Tétel. , azaz sűrűségfüggvénye

1.78. Következmény. esetén és .

1.79. Tétel. Legyen egy teljes eseményrendszer (azaz uniójuk a biztos esemény és páronként diszjunktak). Jelölje az esemény gyakoriságát kísérlet után. Tegyük fel, hogy minden esetén. Ekkor

eloszlása szabadsági fokú khi-négyzet eloszláshoz konvergál esetén.

A bizonyítás a karakterisztikus függvények elméletén és lineáris algebrán alapul (lásd például Fazekas I. [2, 161–162. oldal]). A gyakorlatban a tétel azt jelenti, hogy jelöléssel

A közelítés már jónak tekinthető, ha .

1.80. Lemma. Ha a valószínűségi változó eloszlásfüggvénye , akkor .

1.11. ábra. grafikonja

t-eloszlás

1.81. Definíció. Ha és függetlenek, akkor a valószínűségi változót szabadsági fokú t-eloszlásúnak nevezzük. Az ilyen eloszlású valószínűségi változók halmazát módon jelöljük.

1.82. Tétel. Ha , akkor a sűrűségfüggvénye

1.83. Következmény. és minden esetén, ahol illetve a sűrűség- illetve eloszlásfüggvénye.

1.84. Tétel. Ha , akkor esetén , illetve esetén . Ezektől eltérő esetekben nem létezik várható értéke illetve szórása.

1.12. ábra. szabadsági fokú t-eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

1.13. ábra. szabadsági fokú t-eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

1.85. Tétel. Ha minden esetén, akkor minden -re, azaz a t-eloszlás konvergál a standard normális eloszláshoz, ha a szabadsági fok tart -be.

Gyakorlatilag esetén a eloszlásfüggvénye és között elhanyagolhatóan kicsi a különbség.

Cauchy-eloszlás

1.86. Definíció. Egy valószínűségi változót Cauchy-eloszlásúnak nevezünk, ha a sűrűségfüggvénye

1.87. Tétel. Cauchy-eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

1.88. Tétel. A Cauchy-eloszlás megegyezik az 1 szabadsági fokú t-eloszlással.

1.89. Következmény. Cauchy-eloszlású valószínűségi változónak nem létezik várható értéke illetve szórása.

F-eloszlás

1.90. Definíció. Ha és függetlenek, akkor az valószínűségi változót és szabadsági fokú F-eloszlásúnak nevezzük. Az ilyen eloszlású valószínűségi változók halmazát módon jelöljük.

1.14. ábra. és szabadsági fokú F-eloszlású valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

1.15. ábra. és szabadsági fokú F-eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

1.91. Tétel. Ha , akkor a sűrűségfüggvénye

1.92. Tétel. Ha , akkor .

1.93. Tétel. Ha , akkor esetén illetve esetén .

1.94. Tétel. Ha , akkor .

1.95. Lemma. Legyen eloszlásfüggvénye . Ekkor az változóban monoton csökkenő, míg az változóban monoton növekvő, továbbá .

1.16. ábra. grafikonja

1.17. ábra. grafikonja