Ugrás a tartalomhoz

Matematikai statisztika

Tómács Tibor

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Valószínűségi változó

Valószínűségi változó

Egy eseményt a gyakorlatban legtöbbször a következőképpen szoktunk megadni: Egy függvénnyel az minden eleméhez hozzárendelünk egy valós számot, majd megadunk egy intervallumot. Tekintsük az azon elemeit, melyekhez ez a függvény -beli értéket rendel. Az ilyen elemekből álló halmaz jelentse a vizsgálandó eseményt. Ehhez viszont az kell, hogy ez a halmaz valóban esemény legyen. Az olyan függvényt, mely minden intervallumból eseményt származtat az előbbi módon, valószínűségi változónak nevezzük.

Bizonyítható, hogy elég csak az alakú intervallumok esetén feltételezni, hogy az előbb megadott halmaz eleme -nek, ebből már következik minden más intervallum esetén is. Összefoglalva, kimondhatjuk tehát a következő definíciót:

1.4. Definíció. Legyen mérhető tér és olyan függvény, melyre teljesül, hogy minden esetén. Ekkor a függvényt valószínűségi változónak nevezzük.

A továbbiakban az halmazt a mértékelméletből megszokottak szerint vagy rövidebben módon fogjuk jelölni. Az ilyen alakú halmazokat nívóhalmazainak is szokás nevezni. Hasonló jelölést alkalmazunk „” helyett más relációk esetén is. A valószínűségi változó ekvivalens a mértékelméletbeli mérhető függvény fogalmával.