Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

8. fejezet - Elemi geometriai feladatok

8. fejezet - Elemi geometriai feladatok

Síkgeometriai feladatok

  1. Igazoljuk, hogy ha egy trapéz átlói merőlegesek, akkor szárainak szorzata legalább akkora, mint a párhuzamos oldalak szorzata.

  2. Legyen adott a síkon egy háromszög. Szerkesszük meg a háromszög belsejében azt a pontot, amelyikre igaz, hogy azt a háromszög oldalegyeneseire vetítve, a vetületi pontok alkotta háromszög súlypontja éppen .

  3. Hány különböző alakú téglalapot lehet összeállítani darab egybevágó négyzetlapból, ha egy-egy téglalaphoz mindegyik négyzetlapot fel kell használni?

  4. Adva van az négyzet. Keressük meg azokat a pontokat a négyzet síkjában, amelyekre a következő négy háromszög mindegyike egyenlő szárú: , , , !

  5. Adott egy középpontú, egység sugarú kör, és egy középpontú, egység sugarú kör a síkon, és távolsága egység. Mindegyik kör középpontjából érintőket húzunk a másik körhöz. Igazoljuk, hogy az -ből húzott érintők körrel való metszéspontjainak távolsága egyenlő az -ből húzott érintők körrel való metszéspontjainak távolságával!

  6. Az szakaszt a és pontok három egyenlő részre bontják. A szakasz fölé egy szabályos háromszöget szerkesztettünk. Az középpontú, sugarú kör az félegyenest a pontban metszi. Számítsuk ki az háromszög szögeit!

  7. Egy derékszögű háromszög átfogóján határozzuk meg azt a pontot, amelyre teljesül, hogy -t két befogóra merőlegesen vetítve, a vetületek távolsága a lehető legkisebb!