Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

7. fejezet - Függvények, sorozatok

7. fejezet - Függvények, sorozatok

Feladatok

  1. Milyen értékek esetén lesz az

    függvény értéke minden valós -re nagyobb, mint ?

  2. Milyen esetén vesz fel az függvény minden valós -re legalább 1-gyel nagyobb értéket, mint a függvény?

  3. Oldjuk meg az egyenlőtlenséget, ha

  4. A intervallumon értelmezett függvényre teljesül, hogy és minden esetén

    Mutassuk meg, hogy az egyenletnek végtelen sok megoldása van! Létezik-e olyan, a feltételeknek megfelelő függvény, amely nullától különböző értéket is felvesz?

  5. Egy függvényről azt tudjuk, hogy minden esetén

    Határozzuk meg értékét!

  6. Jelölje a Pascal-háromszög egyik sorának négy, egymás után következő elemét. Igazoljuk, hogy az

    számok számtani sorozatot alkotnak!

  7. Egy bank a lekötött betétekre a kamatadó levonása után évi 6%-os kamatot ad. A kifizetett kamat nagyságát úgy állapítják meg, hogy kiszámítják az adott pénzösszeg egy napra jutó kamatát (az évet 365 nappal számolva), és ennek annyiszorosa lesz a kamat, ahány napig tartott a lekötés. A lekötés lejártakor a számlára visszavezetik a lekötött összeget, és jóváírják a kamatot. Azonban a bank küld egy-egy értesítést (postai levelet) a lekötés kezdetéről és a lekötés végéről is, melynek díja levelenként 75 Ft. Legalább mekkora összeget érdemes lekötni ebben a bankban 30 napra? (A bank lekötés nélkül 0%-os kamatot fizet.)

  8. Egy pozitív számokból álló számtani sorozat három, nem feltétlenül egymás utáni tagja , és . Tudjuk, hogy

    Adjuk meg a sorozat differenciáját!

  9. Egy számsorozatban a második számtól kezdve bármelyik számot megkaphatjuk úgy, hogy a sorszámához hozzáadjuk a sorozatban közvetlenül előtte álló szám reciprokát. A sorozatban az ötödik szám . Határozzuk meg a sorozatban álló negyedik és hatodik számot!

  10. Egy utca páros oldalán a házszámok összege egyik saroktól a másikig 78, ezen a szakaszon legalább 5 ház van. Mennyi lehet a saroktól számított negyedik ház házszáma?

  11. Határozzuk meg az összes olyan függvényt, amelyre tetszőleges , valós számok esetén

  12. Határozzuk meg az függvény maximumát!

  13. Melyek azok a pozitív egész számokból álló sorozatok, amelyekre minden esetén teljesül?

  14. Egy differenciájú számtani sorozatban és . Egy hányadosú mértani sorozatban és . Tudjuk még, hogy . Adjuk meg az összes ilyen sorozatot!

  15. Milyen valós -ek esetén lesz a

    kifejezés értéke a legnagyobb?

  16. Egy valós számsorozat bármely 5 egymást követő tagjának összege pozitív, bármely 7 egymást követő tagjának összege negatív. Milyen hosszú lehet a sorozat?

  17. Az sorozatot ( természetes szám) a következőképpen értelmezzük:

    Adjuk meg -t függvényében!

  18. Határozzuk meg a kifejezés legkisebb és legnagyobb értékét!