Ugrás a tartalomhoz

Matematikai versenyfeladatok

Makó Zita, Szilágyi Ibolya, Téglási Ilona

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

5. fejezet - Az algebra megjelenése a matematika versenyekben

5. fejezet - Az algebra megjelenése a matematika versenyekben

Feladatok

Ebben a fejezetben az algebrához kötődő versenyfeladatokból áll egy csokor, érintve az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenség rendszerek, polinomok témaköröket.

  1. Adott egy változós polinom. Tudjuk, hogy ha mindegyik változója helyébe vagy -et, vagy -et helyettesítünk, értéke pozitív lesz, amennyiben a -ek száma páros, és negatív, ha a -ek száma páratlan. Igazoljuk, hogy a polinom legalább -edfokú. (Azaz van olyan tagja, amelyikben a változók kitevőinek az összege legalább .)

  2. Legyen adott pozitív egész szám. Határozzuk meg a valós számokon értelmezett

    polinom minimumát.

  3. Egy osztály matematika dolgozatának eredményei a következők: darab ötös, darab hármas, darab kettes és darab egyes, míg a többiek dolgozata négyesre sikerült. Hányan írtak négyes dolgozatot, ha a dolgozatjegyek átlaga -nál nagyobb, -nél kisebb, és tudjuk, hogy hármast írtak a legtöbben?

  4. Egy egyenes út mentén két különböző nagyságú, négyzet alakú telek volt egymás mellett. Telekrendezés során a két telket egy téglalap alakú telekké alakították úgy, hogy változatlan maradt a területe is, és az út menti oldal is. Mutassuk meg, hogy az új telek rövidebb oldala nagyobb a hosszabb oldal felénél!

  5. A derékszögű koordináta-rendszer mely pontjainak koordinátáira teljesül, hogy ?

  6. A pozitív egész számokat háromszög alakban rendeztük el az alábbiak szerint:

    (azaz minden sorban a sor számával megegyező számú, egymást követő számokat találunk, amelyek közül az első az ezt megelőző sorban levő utolsó számot követő egész.) Hányadik sorban van az ? Mennyi a sorban álló számok összege?

  7. Hamupipőkének egy zsák lencsével összekevert babot kellett szétválasztania. A lencse és a bab tömegének aránya volt. Hamupipőke mostohájának úgy tűnt, hogy kevés a lencse, ezért még lencsét a zsákba szórt. Így a lencsének a babhoz való aránya annyi lett, mint amennyi előtte a bab aránya a lencséhez. Végül hány lencsét és hány babot kellett Hamupipőkének szétválasztania?

  8. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív egészhez található olyan egész együtthatós polinom, amelynek az helyeken felvett értékei különböző -hatványok.

  9. Legyen pozitív egész, valós számok. Bizonyítandó, hogy

  10. Egy oldalú konvex sokszög síkjában adott egy pont. Bizonyítsd be, hogy a pont csúcsoktól mért távolságainak az összege nagyobb a sokszög félkerületénél!