Ugrás a tartalomhoz

Affin és projektív geometria

Hoffmann Miklós, Papp Ildikó

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Centrális axonometria és középpontos vetítés

Centrális axonometria és középpontos vetítés

A centrális axonometria és a középpontos vetítés, ahogy azt a 12.1. ábra jobb oldalán is láthatjuk, párhuzamos egyeneseket metsző egyenesekbe is átvihet. Az előző fejezetekben tárgyalt leképezések közül erre csak a projektív leképezések voltak képesek, így a centrális axonometriát és a középpontos vetítést is csak projektív szempontból tudjuk értelmezni: -at -re leképező elfajult projektív leképezésként. A középpontos vetítésnél erre azért is szükségünk van, mert célunk az, hogy a tér minden pontját leképezzük, márpedig a vetítés centrumára illeszkedő, képsíkkal párhuzamos sík pontjait a centrummal összekötve a képsíkkal párhuzamos vetítőegyeneseket kapunk, mely egyeneseknek csakis a projektív térben létezik metszéspontjuk a képsíkkal. Projektív szemszögből az is világossá válik, hogy miért lehetnek párhuzamos egyenesek képei metszőek: egy adott iránnyal párhuzamos egyeneseknek ugyanaz a végtelen távoli pontjuk, de ez a pont a vetítés során általában véges pontba megy át, így az egyenesek képei mind ebben a véges pontban fogják egymást metszeni.

12.3. ábra. Egy speciális középpontos vetítés: a perspektíva.

A középpontos vetítést igen gyakran a következő speciális helyzetben alkalmazzuk (12.3. ábra): adott egy sík, melyet alapsíknak nevezünk, ezen áll a megfigyelő, akinek szemmagasságában (melyet -val jelölünk) van a vetítés C centruma. A képsík az alapsíkra merőleges és a megfigyelőtől távolságra van. Ezt a vetítést, melyet gyakorlati perspektívának is nevezünk, alkalmasan megválasztott koordinátarendszerekkel aránylag egyszerűen leírhatjuk. Egy pillanatra térjünk vissza inhomogén (Descartes-féle) koordinátákra, amiben a számolás egyszerűbb lesz. A térbeli koordinátarendszert helyezzük el a megfigyelő lábához úgy, hogy a tengely merőleges legyen az alapsíkra, az tengely az alapsíkban, a képsíkkal párhuzamosan helyezkedjen el, az tengely pedig az alapsíkban a képsíkra merőlegesen álljon). A képsík koordinátarendszerének origóját helyezzük az tengely és a képsík metszéspontjába, az tengelye legyen párhuzamos a térbeli rendszer tengelyével, az tengelye pedig a térbeli rendszer tengelyével . Egy tetszőleges térbeli  pont koordinátái legyenek , a pont képe pedig legyen A párhuzamos szelők tétele értelmében egyrészt , másrészt egyenlőségek állnak fenn, amiből a képpont koordinátái:

Ezek alapján, most már homogén koordinátákkal leírva, a fenti vetítés egyenletrendszere:

vagy mátrixos formában:

Amint a mátrixos alakból is kitűnik, az adott vetítést egyértelműen megadja a megfigyelő szemmagassága és a képsíktól való távolsága, tehát két paraméterrel tetszés szerint kontrollálhatjuk a képet. A képsíkon magasságban az alapsíkkal párhuzamosan futó egyenest horizontvonalnak nevezzük, mivel ez az alapsík végtelen távoli egyenesének a képe, azaz az alapsíkon fekvő párhuzamos egyenesek képei ezen egyenes valamely pontjában metszik egymást.

Térjünk most át a centrális axonometria vizsgálatára. Az axonometria ezúttal is azt jelenti, hogy vetítés helyett a tengelyeken való méréssel kapjuk meg a térbeli pontok képeit. Az eljárás hasonló lesz az előző alfejezetben látottakhoz, mivel azonban a centrális axonometria projektív leképezés, így osztóviszonyok helyett csak kettősviszonyok átmérésével tudjuk megkeresni a képet. Ehhez szükségünk lesz a térbeli koordinátatengelyek végtelen távoli pontjainak képére is.

12.4. ábra. A centrális axonometria koordinátahasábja a tengelyek végtelen távoli pontjaival.

12.3. Definíció. Legyen adott a térben egy derékszögű ortonormált tengelykereszt az origóval és az tengelyeken az egységpontokkal. A koordinátatengelyek végtelen távoli pontjait jelöljük rendre -vel. Vegyünk fel a síkon egy pontrendszert a következőképpen: jelöljünk ki először egy általános helyzetű, de egyébként tetszőleges pontnégyest, ezek lesznek az origó és a három egységpont axonometrikus képei, majd az egyeneseken, melyek a térbeli tengelyek képét alkotják, jelöljük ki tetszőlegesen a végtelen távoli pontok  képeit. Egy tetszőleges pontot a következő módon képezünk le: először a térben merőlegesen rávetítjük -t a koordinátasíkokra (ez három pontot eredményez) és a tengelyekre (ez újabb három pont), mely pontok az origóval és magával -vel együtt a térbeli koordinátahasábot eredményezik (12.2. ábra). Ezen pontok közül az tengelyen kapott pontokat jelöljük rendre -vel . Az kettősviszonyt a már ismert módon átmásolva, a síkbeli tengelyen megkeressük azt a pontot, melyre Hasonló módon megkeressük az tengelyen a és a tengelyen a pontot. Ezután a pontokat a tengelyek végtelen távoli pontjának képeivel, -vel összekötve felépíthetjük a koordinátahasáb síkbeli képét, melynek a megfelelő, origóval átellenes csúcspontjában megkapjuk a térbeli pont centrálaxonometrikus képét, -t (lásd 12.4. ábra). Az rendszert a centrálaxonometria főképalakzatának nevezzük.

A centrális axonometria analitikus leírása az előző alfejezetben követett módszer szerint történhet, annyi különbséggel, hogy most egy elfajult projektív transzformációval van dolgunk, hiszen a definíció csak a kettősviszony megtartását garantálja. A térbeli pontot a síkbeli pontba átvivő általános centrál-axonometrikus leképezés homogén koordinátás egyenletrendszere a következő:

Az egyenletrendszer együtthatóinak megfelelő megválasztásával ezúttal is tetszés szerint alakíthatjuk a térbeli tengelykereszt síkbeli képét, a homogén koordináták miatt azonban az összefüggések ezúttal bonyolultabbak. Az előző, affin esethez hasonlóan a térbeli  origó képe a behelyettesítés után lesz, azaz a leképezés mátrixának utolsó oszlopa adja meg a síkbeli origó homogén koordinátáit. Megfordítva, ha a síkbeli tengelykeresztnek tetszés szerint kitűzzük az origóját az pontban (tervezéskor nyilván Descrates-féle koordinátákat használunk), akkor az helyettesítéssel megkapjuk a mátrix utolsó oszlopát. A mátrix első három oszlopa ezúttal nem az egységpontok képét határozza meg, hanem a tengelyek végtelen távoli pontjainak, az   és pontoknak a képét adja meg a síkon. Ez azt jelenti, hogy ha tetszés szerint kitűzzük a síkon az és pontokat, akkor ezek homogenizált koordinátái az origóhoz hasonlóan egy-egy oszlopot eredményeznek a leképezés mátrixában. A harmadik koordinátát mindenhol 1-nek választva így ezt kaptuk: 

ami egyben a tengelyek egyenesét is kijelöli. Egy kérdés maradt ezután, hogy hol lesz a tengelyek egységpontjainak a képe? Nos, ne feledjük, hogy a homogén koordináták csak arányosság erejéig tartoznak a ponthoz, ezért a leképezés nem változik, ha a fenti koordinátákat egy-egy nullától különböző skalárral megszorozzuk :

Az egységpontok képeinek elhelyezkedését ezekkel a skalárokkal befolyásolhatjuk. Tekintsük példaként az tengely egységpontját, az pontot. Ennek képe , ami inhomogén koordinátákkal felírva

alakú lesz. Mivel

ezért a koordinátákat helyettesítéssel így is írhatjuk:

amiből nyilvánvaló, hogy az tengely  egységpontjának koordinátái az  origóra és az tengely  végtelen távoli pontjára vonatkoztatott baricentrikus koordináták, vagyis az egységpont éppen arányban osztja az szakaszt. Miután tehát az és az pontot kijelöltük, az általuk meghatározott egyenesen (azaz az  tengelyen) tetszőlegesen felvesszük az egységpontot, ebből meghatározzuk az arányt (az egyik skalárt tetszőlegesen választhatjuk meg) és a két skalárral külön-külön megszorozzuk az és az pont koordinátáit . Természetesen ugyanez igaz a másik két tengely egységpontjára is, azzal a megkötéssel, hogy az origó koordinátáit ekkor már nem szorozhatjuk további skalárokkal (hiszen ez elrontaná az előző arányt), azaz az a második és harmadik egységpontnál már rögzített.

Előfordulhat, hogy valamelyik térbeli tengely végtelen távoli pontját a síkon is végtelen távoli pontként akarjuk ábrázolni. Ez annyi különbséget eredményez, hogy ezen pont harmadik homogén koordinátája 0 lesz. Tegyük fel ismét, hogy az tengelyről van szó, ekkor az  egységpont képének homogén koordinátái lesznek, ami inhomogén koordinátákkal felírva

alakú lesz.

Végül néhány szó a középpontos vetítés és a centrális axonometria kapcsolatáról. Az előző fejezetben láttuk, hogy a  párhuzamos vetítés és az axonometria gyakorlatilag ekvivalensek, a keletkezett képek legfeljebb egy hasonlóságban különböznek. A mostani eset már korántsem ilyen egyszerű: az igaz ugyan, hogy bármely középpontos vetítéshez található olyan centrális axonometria, mely ugyanolyan képet állít elő, azonban végtelen sok olyan centrális axonometria van, mely által előállított kép lényegesen (egy síkbeli projektív transzformáció erejéig) különbözik minden középpontos vetítés által nyert képtől. A pontos tétel a következőképpen szól.

12.5. ábra. A Szabó-Stachel-Vogel tétel

12.4. Tétel (Szabó–Stachel–Vogel). Legyenek a centrálaxonometria főképalakzata, és jelöljék a végtelen távoli pontok képei háromszögének szögeit ,, . Jelölje továbbá a tengelyek szakaszait , , . A centrálaxonometrikus kép akkor és csakis akkor centrális projekciója a térbeli alakzatnak, ha

teljesül (12.5. ábra).