Ugrás a tartalomhoz

Affin és projektív geometria

Hoffmann Miklós, Papp Ildikó

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Szerkesztések centrális kollineációban

Szerkesztések centrális kollineációban

A centrális kollineációban való szerkesztés gyakorlatot igényel. Néhány példával illusztráljuk az alapvető lépéseket.

7.9. Példa. Adott a centrális kollineáció tengelyével, centrumával és a ellentengellyel. Határozzunk meg egy egyeneshez olyan egyenest, melyekre teljesül, hogy az és -os szöget zár be (7.9. ábra).

7.9. ábra.

A feladatot visszafelé érdemes megoldani. Az -t meghatározva fel tudunk venni olyan -t, amely -os szöget zár be az -vel. Innen visszafelé dolgozunk, vagyis meghatározzuk az -t. Az és egyenesek szöge megjelenik a centrumon áthaladó és egyenesek között. Ha -vel párhuzamos egyenest választanánk, annak az ősképe ugyanezen a ponton haladna át. Ezért a pontra illeszkedő bármely egyenes a feladat megoldása lehet. Az egymást a ellentengelyen metsző egyenesek képei mindig párhuzamosak lesznek egymással. A feladatnak van egy másik lehetséges megoldása is, a ellentengely pontjára illeszkedő egyeneshalmaz, ahol a szög szintén .

7.10. Példa. Adott egy általános négyszög. Határozzunk meg olyan centrális kollineációt, melyben a négyszög képe paralelogramma (7.10. ábra).

7.10. ábra.

Ha egy metsző egyenespárt párhuzamos egyenespárrá szeretnénk transzformálni, akkor az egyenesek metszéspontjának illeszkednie kell a centrális kollineáció ellentengelyére. Paralelogramma esetén szemköztes oldalak mindegyike párhuzamos lesz, ezért a ellentengely az általános négyszög szemköztes oldalainak metszéspontjait összekötő egyenes. A kollineáció centruma tetszőlegesen választható, de – mint tudjuk – a képegyenesek állását ez fogja befolyásolni. A kollineáció tengelyét az ellentengellyel párhuzamosan kell felvenni, a centrumtól való távolsága a képalakzat méretét befolyásolja. Minél távolabb vesszük fel, annál nagyobb lesz a képalakzat.

7.11. Példa. Adott egy általános négyszög. Határozzunk meg olyan centrális kollineációt, melyben a négyszög képe téglalap (7.11. ábra).

7.11. ábra.

A téglalap derékszögű paralelogrammaként adható meg. Mivel az oldalak merőlegessége a centrumban megjelenik, biztosítani kell, hogy a szög legyen. Ezért a centrum nem választható szabadon, a szakasz fölé írt Thalész-körön kell lennie.