Ugrás a tartalomhoz

Affin és projektív geometria

Hoffmann Miklós, Papp Ildikó

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A Desargues-tétel

A Desargues-tétel

Desargues tétele alapvető fontosságú a projektív geometriában. Mielőtt magát a tételt megfogalmaznánk, szükségünk van két definícióra.

6.3. Definíció. Két háromszöget oldalaira nézve perspektívnek nevezünk, ha az egymásnak megfelelő oldalegyenesek metszéspontjai egy egyenesre illeszkednek.

6.4. Definíció. Két háromszöget csúcsaira nézve perspektívnek nevezünk, ha az egymásnak megfelelő csúcsokat összekötő egyenesek egy pontban metszik egymást.

6.5. Tétel (Desargues). Két háromszög csúcsaira nézve perspektív ha oldalaira nézve perspektív.

Az állításban szereplő háromszögek a következő videón láthatók.

  V I D E Ó  

A tétel bizonyítása előtt egy fontos megjegyzést kell tennünk. Vegyük észre, hogy a tétel feltétele és állítása síkbeli duálisok, így a tétel bizonyítása síkban értelmetlen (hiszen az állítást önmagából kell levezetni). Éppen ezért a projektív síkgeometriában a fenti állítást axiómaként tesszük föl. A Desargues-féle axióma a síkgeometria független axiómája, azaz ha elvetjük, akkor is érvényes geometriát, úgynevezett nemdesargues-i projektív geometriát kapunk.

Ezek után a tétel bizonyítása értelemszerűen csak a térben történhet.

Bizonyítás. A tétel megfogalmazásakor nem kötöttük ki, hogy a háromszögek ugyanabban a síkban legyenek. Ezért a bizonyításban két esetet fogunk megkülönböztetni aszerint, hogy a két háromszög síkja különböző-e (I. eset) vagy sem (II. eset). Mindkét esetben oda-vissza bizonyítanunk kell az állítást. Így a bizonyításunk négy alesetre tagozódik: I a) és b), illetve II. a) és b).

I.a) Ha a két háromszög síkja, és különbözőek, akkor először igazolni fogjuk, hogy ha két háromszög csúcsaira nézve perspektív, akkor oldalaira nézve is az. A bizonyításnak ezt a részét a 6.2. ábrán követhetjük nyomon.

Tekintsük az és , csúcsaikra nézve perspektív háromszögeket! A perspektivitás középpontját jelölje , mely pont egyik síkra sem illeszkedhet. Az és síkok metszésvonalát jelölje . Ekkor tekintsük az és egyeneseket, melyek az pontban metszik egymást. Ez azt is jelenti, hogy az és az egy síkban vannak, jelölje ezt a síkot . Tekintsük az és egyeneseket. Ezek az egyenesek metsző egyenespárt alkotnak a síkban, a metszéspontjuk legyen . Mivel a projektív síkon és térben gondolkodunk, ezért ha két egyenes a véges részen párhuzamos, akkor is metsző egyenespárt alkotnak, a metszéspont végtelentávoli lesz. Három általános helyzetű síkunk van tehát, az és , illetve a sík. Ezen síkoknak csak egy közös pontja lehet, melyen a páronként vett metszésvonalak keresztül haladnak. Az és metszésvonala , az és síkok metszésvonala az egyenes, míg az és síkok metszésvonala az egyenes. Az utóbbi két egyenes közös pontja , amely így a egyenesre is illeszkedik. Hasonló gondolatmenettel látható be, hogy az és egyenesek , valamint a és egyenesek metszéspontja is illeszkedik -re. Ez pedig azt jelenti, hogy a két vizsgált háromszög oldalaira nézve is perspektív.

6.2. ábra. A Desargues-tétel bizonyításának első része

I.b) Most igazoljuk, hogy ha két háromszög különböző síkban van és oldalaira nézve perspektív, akkor csúcsaira nézve is az. Ezt a gondolatmenetet a 6.3. ábrán követhetjük nyomon.

Tekintsük az és háromszögeket az és síkokban, melyek oldalaikra nézve perspektívek. A perspektivitás tengelye a két sík metszésvonala, vagyis az és egyenesek , az és egyenesek , valamint a és egyenesek metszéspontja illeszkedik a egyenesre. Az , az és a pontnégyesek egy-egy síkra illeszkednek. Az előbbi három sík általános helyzetű, azaz nincsen közös egyenesük, tehát pontosan egy közös pontjuk van, melyen a páronkénti metszésvonalak áthaladnak. Ezek a metszésvonalak az és egyenesek, melyeknek egy közös (mondjuk -val jelölt) pontjuk van. Tehát a két háromszög csúcsaira nézve is perspektív helyzetű.

6.3. ábra. A Desargues-tétel bizonyításának második része

II.a) Most tekintsük azt az esetet, ha a háromszögek síkja egybeesik, azaz . Igazolni fogjuk, hogy ha két háromszög csúcsaira nézve perspektív, akkor oldalaira nézve is az.Ahogy azt a bevezetőben említettük, a bizonyításkor térbeli eszközöket is segítségül kell hívnunk. A bizonyítás ezen részét a 6.4. és 6.5. ábrákon követhetjük nyomon.

6.4. ábra. A Desargues-tétel bizonyításának harmadik része

Adott az síkban két, csúcsaira nézve perspektív háromszög. A perspektivitás középpontja legyen . Az ponton keresztül vegyünk fel egy olyan egyenest, amely nem illeszkedik a háromszögek síkjára. Ezen a egyenesen kijelölünk két különböző, és pontot. Az -ből az háromszöget, az -ből az háromszöget vetítjük.

Az és egyenesek metszéspontja legyen , ami a és az egyenesek síkjában van. Hasonlóan a és egyenesek metszéspontja a és a egyenesek síkjában, a és egyenesek metszéspontja pedig a és a egyenesek síkjában. Ekkor az és , valamint az és háromszögek nemcsak csúcsaikra nézve perspektív helyzetűek , valamint középponttal, hanem az első eset értelmében oldalaikra nézve is perspektívek, és mindkét esetben a tengely az háromszög síkjának és az síknak az metszésvonala. Az egyenes pontjában az , és , egyenespárok metszik egymást, tehát a nekünk szükséges és is. Hasonlóan ehhez az pontban az és , az pontban a és egyenesek metszik egymást. Vagyis az és háromszögek oldalaikra nézve is perspektív helyzetben vannak.

6.5. ábra. A Desargues-tétel bizonyításának negyedik része

II. b) Végül igazolni fogjuk, hogy ha két háromszög egy síkban van és oldalaira nézve perspektív, akkor csúcsaira nézve is az. Ezt a gondolatmenetet a 6.6. ábrán követhetjük nyomon.

Legyen ismét adott az síkban két, oldalaira nézve perspektív háromszög. A perspektivitás tengelye legyen . Az és egyenesek a -t -ben, a és egyenesek -ben, végül a és egyenesek -ben metszik. A egyenesre illesszünk egy -tól különböző síkot. Válasszunk egy tetszőleges vetítési centrumot, melyet felhasználva az háromszöget a -ra vetítve az háromszöget kapjuk. Az és háromszögek oldalaikra és csúcsaikra nézve is perspektívek. Ekkor az , az és a egyenesek is rendre az , és pontokban metszik a egyenest.

6.6. ábra. A Desargues-tétel bizonyításának ötödik része

Ezzel az és háromszögek is oldalaikra nézve perspektív helyzetben vannak, amiből az következik, hogy csúcsaikra nézve is perspektívek. A perspektivitás középpontja legyen . Tekintsük a következő síkokat: az , az valamint az ponthalmazok egy-egy síkot határoznak meg az egyenesre illeszkedő síksorból. Ezt a síksort metsszük az síkkal, ekkor a keletkezett metszésvonalak sugársort alkotnak, melynek a sorozópontja az egyenesnek az síkkal való metszéspontja, azaz . A metszésvonalak rendre , és . Ez pedig azt jelenti, hogy az és háromszögek csúcsaikra nézve is perspektívek. Ezzel a tételt beláttuk.

6.7. ábra. A Desargues-tétel bizonyításának hatodik része