Ugrás a tartalomhoz

Affin és projektív geometria

Hoffmann Miklós, Papp Ildikó

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Ellipszissel kapcsolatos szerkesztési feladatok

Ellipszissel kapcsolatos szerkesztési feladatok

Ebben az alfejezetben egy sor ellipszissel kapcsolatos feladatot tárgyalunk, melyek egy részét euklideszi geometriai ismereteinkkel nem tudjuk kezelni, így tengelyes affinitás segítségével oldjuk meg.

1. feladat: Adottak az ellipszis tengelyei, határozzuk meg azt a tengelyes affinitást, melynek tengelye adott, az ellipszist pedig körbe viszi át! Legyenek az ellipszis tengelyeit és , valamint az affinitás tengelye (3.3. ábra). Legyen az ellipszis középpontja. Az osztóviszonyból következik, hogy az affinitás során az pont a keresett kör húrjának felezőpontja lesz. Hasonlóképpen az pont a húr felezőpontja is, ezért a kör középpontja. Egy egyenes érinti az ellipszist, ha az ellipszissel pontosan egy közös pontja van. Az affinitás illeszkedéstartó tulajdonsága miatt az ellipszis érintői körérintőkbe mennek át. Ha az és tengelyvégpontokban meghúzzuk az ellipszis érintőit, akkor ezek az érintőtéglalapot határozzák meg. Az affinitást alkalmazva az téglalap képe négyzet lesz. Az affin képe minden affinitásban paralelogramma. Ha képének átlói és középvonalai is merőlegesek egymásra, akkor a paralelogrammából négyzet lesz. Tehát az pontnak rajta kell lennie az és szakaszok fölé szerkesztett Thalesz körökön. Ezzel a tengelyes affinitást meghatároztuk: a egyenes az affinitás tengelye és az megfelelő pontpár. Például az -t úgy szerkeszthetjük, hogy az egyenes megfelelőjét elmetsszük az -ra illeszkedő, -vel párhuzamos egyenessel. A képkör sugara az távolság.

3.3. ábra. Az 1. feladat megoldása

2. feladat tengelyeivel adott ellipszishez válasszuk az affinitás tengelyének az ellipszis valamelyik tengelyét, mondjuk a nagytengelyt. Olyan affinitást határozzunk meg, melyben az ellipszis képe kör lesz!

Legyen az ellipszis nagytengelye , kistengelye , középpontja (3.4. ábra). Az affinitás tengelyének az egyenesét választjuk. Ekkor az szakasz a képkörnek is átmérője, ezáltal meghatározott az ellipszishez affin kör. Az affinitás egy pontpárjához úgy jutunk, hogy meghatározzuk, pl. a pont megfelelőjét. Az ellipszis -beli érintője nem metszi el az affinitás tengelyét, így a képe sem fogja elmetszeni. A pont megfelelőjének két pont is választható: a kör tengelytől legtávolabbi pontjai. Ezáltal két tengelyes affinitást kaphatunk. Az egyik megfelelő pontpárja a . A kapott tengelyes affinitás ortogonális.

3.4. ábra. Az 2. feladat megoldása

3. feladat: adott az ellipszis tengelyeivel. Szerkesszünk ellipszispontot és abban érintőt! Tegyük fel, hogy a 2. feladat szerint megadtuk az affinitást, melyben az ellipszis képe kör (3.5. ábra). Mivel a kör affin képe az ellipszis, a kör pontjainak affin képe ellipszispont lesz. A körpontnak megszerkesztjük a ősképét. A egyenesnek a tengellyel való metszéspontja fixpont, ezért ha -vel összekötjük, akkor ezen az egyenesen lesz a , melyet az affinitás iránya jelöl ki. A -beli ellipszisérintő a -beli körérintő ősképe.

3.5. ábra. A 3. feladat megoldása

4. feladat: adott az ellipszis tengelyeivel. Szerkesszünk ellipszispontokat a koncentrikus körök módszerével!

Legyenek az ellipszis tengelyei és (3.6. ábra). Írjunk föléjük Thalesz-köröket! Vezessünk egy félegyenest -ból, amely a köröket és pontokban metszi. Állítsunk merőlegest -ből -re és -ből -re! Az előbbi merőlegesek metszéspontja . Igazolni fogjuk, hogy ellipszispont. Ha koordinátái az középpontú, ellipszistengelyekkel párhuzamos tengelyű koordinátarendszerben és , akkor közöttük összefüggés áll fenn. A pont koordinátái és , melyekre valamint az és hasonló háromszögekből . Ezeket a kör egyenletébe helyettesítve és a kapott egyenletet rendezve az ellipszisegyenletet kapjuk. Ezzel beláttuk, hogy a az adott ellipszis pontja. A szerkesztésből leolvasható az ellipszis paraméteres egyenletrendszere. Válasszuk paraméternek a szöget, amelyet jelöljük -vel. Ekkor a koordinátái .

3.6. ábra. A 4. feladat megoldása

5. feladat: legyen adott az ellipszis tengelyeivel és egy e egyenes. Szerkesszük meg a metszéspontokat! Az affinitás illeszkedéstartó tulajdonságait használjuk fel. Alkalmazzuk az ellipszist körbe vivő affinitást az egyenesre is (ezzel a kör rendszerében oldjuk majd meg először a feladatot) úgy, hogy egy pontjának megszerkesztjük az affin képét, majd összekötjük a tengelyen fekvő pontjával (3.7. ábra). Az így kapott egyenes metszi a kört az és pontokban. Ezeknek a pontoknak kell az affin ősképeit megkeresni az affinitás irányának felhasználásával.

3.7. ábra. Az 5. feladat megoldása

3.2. Definíció. Az ellipszis és átmérőit konjugáltaknak nevezzük, ha a és -beli ellipszisérintők az átmérővel párhuzamosak, az és -beli érintők pedig a átmérővel párhuzamosak.

3.3. Tétel. A kör merőleges átmérőinek affin képei a képellipszis konjugált átmérői.

Bizonyítás. Az affinitás illeszkedés- és párhuzamosságtartó tulajdonságaiból azonnal következik az állítás.

Megjegyezzük, hogy az ellipszis tengelyei is konjugált átmérőpárt alkotnak, csak egymásra merőlegesek. Az ellipszist nemcsak tengelyeivel, hanem egyéb adataival, köztük konjugált átmérőpárjával is meg lehet adni.

6. feladat: szerkesszünk egy konjugált átmérőivel adott ellipszishez affin kört!

Adott az ellipszis a és konjugált átmérőpárral (3.8. ábra). Válasszuk az affinitás tengelyének a egyenest! Ekkor a szakasz egyben az affin körnek is egy átmérője. Mivel a konjugáltság érintkezéssel és párhuzamossággal van definiálva, ezért az affinitással szemben invariáns tulajdonság, tehát az átmérő affin megfelelője -ra merőleges körátmérő lesz. Az pont affin képére két lehetőség adódik: vagy a vele átellenes körpont. Így az ellipszishez ferde irányú tengelyes affinitást tudtunk rendelni.

3.8. ábra. A 6. feladat megoldása

7. feladat: szerkesszük meg a konjugált átmérőivel adott ellipszis tengelyeit!

A szerkesztésben felhasználjuk azt, hogy az ellipszis tengelyei olyan konjugált átmérők, melyek merőlegesek egymásra és azt is, hogy a kör merőleges átmérőpárjai konjugáltak (3.9. ábra). A konjugált átmérőpár felhasználásával szerkesszük meg az ellipszis köré az érintőparalelogrammát és válasszuk az affinitás tengelyének a paralelogramma egyik oldalát! A paralelogramma körrendszerbeli megfelelője négyzet. A következőkben meg kell határozni a kör azon konjugált átmérőpárját, melynek képei merőlegesek egymásra.

Ezt a részfeladatot az invariáns derékszögpár szerkesztésével (lásd 3.1. ábra)lehet meghatározni. Az és pontokba szerkesztett invariáns derékszögpár ellipszis-rendszerbeli egyenesei lesznek a tengelyegyenesek. A tengelyek végpontjai a kör pontjainak affin megfelelői.

3.9. ábra. A 7. feladat megoldása

Egy másik megoldás az ún. Rytz-szerkesztés.

Legyen adott az ellipszis a és konjugált átmérőpárjával. A szerkesztésnél csak az és fél átmérőket használjuk fel. Az -t forgassuk el -kal az pont körül olyan irányba, hogy a forgatás során súrolja az -t, ekkor az szakaszt kapjuk. A és pontokat összekötő szakasz felezési pontja legyen . Az középpontú, és ponton áthaladó kör a egyenest az és pontokban metszi. Ekkor az és egyenesek egymásra merőlegesek és ezek lesznek az ellipszis tengelyegyenesei. Az szakaszt a két részre osztja. Az az ellipszis fél kistengelyével egyenlő hosszúságú, ezért ezt a szakaszt az egyenesre kell felmérni, míg a az ellipszis fél nagytengelyével egyenlő hosszúságú, és az egyenesre kell felmérni (az pontból mindkét irányba).

3.10. ábra. A Rytz-szerkesztés

A lépések igazolásához tekintsük az a és b tengelyekkel adott ellipszist, és a tengelyek fölé írt köröket Az és egymásra merőleges sugarakat vesszük, és a koncentrikus körök módszerével meghatározzuk az ellipszis és pontját. Ekkor az és az ellipszis egy konjugált átmérőpárját (pontosabban annak a felét) adja. Az pont körül forgassuk az háromszöget fokkal úgy, hogy a -be, a a -be kerül. A pont forgatással nyert képét jelölje . A négyszög téglalap, melynek a átlója az és pontokban metszi az ellipszis tengelyeit. Az és pontokon keresztül a tengelyekkel párhuzamosokat húzunk, melyek az pontban metszik egymást. A és téglalapok középpontosan hasonlók, a hasonlósági középpont a közös átlóegyenesek metszéspontja. A szimmetriaviszonyok miatt , és . Ez azt jelenti, hogy az téglalap átlója hosszúságú. az ellipszis egy tetszőleges pontja, melyen úgy halad át egy hosszúságú szakasz, melynek az egyik végpontja a kistengely egyenesén, a másik végpontja a nagytengely egyenesén van. Ha egy adott hosszúságú szakaszt úgy mozgatunk, hogy a végpontjai mindig a tengelyegyenesekre illeszkednek, akkor a szakasz minden pontja ellipszist ír le, melynek a tengelyei akkora hosszúságúak, amekkora darabokra a kérdéses pont osztja a szakaszt.