Ugrás a tartalomhoz

Affin és projektív geometria

Hoffmann Miklós, Papp Ildikó

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Hasonlósági transzformációk

Hasonlósági transzformációk

Az síkon még egy jól ismert transzformációt kell megemlítenünk: a középpontos hasonlóságot. Ez a transzformáció a fent leírt euklideszi transzformációkkal kombinálva a hasonlósági transzformációkat eredményezi. A hasonlósági transzformációk invariánsan hagyják a szöget, a párhuzamosságot, a távolságtartás helyett azonban csak aránytartóak.

Az origó középpontú, arányú középpontos hasonlóság egyenletrendszere a síkon

vagy mátrixosan

alakú, ahol Térben ezzel analóg módon írható fel, egy plusz egyenletet hozzávéve.

A hasonlósági transzformáció lehet egyetlen középpontos transzformáció, de lehet egybevágósági transzformáció és középpontos transzformáció szorzata is. A hasonlósági transzformáció mátrixa tehát a fenti A típusú mátrixok és esetleg ortogonális mátrixok szorzataként áll elő. Így igaz a következő tétel:

1.3. Tétel. Egy 2x2-es mátrix nemelfajult hasonlósági transzformáció mátrixa ha , ahol .

A síkbeli hasonlósági transzformációk általános alakja tehát

A hasonlósági transzformációk az egymás utáni elvégzésre, mint műveletre nézve szintén algebrai csoportot alkotnak, melynek az euklideszi transzformációcsoport valódi részcsoportja. A térbeli hasonlósági transzformációk leírása a síkbelivel analóg módon történik.