Ugrás a tartalomhoz

Affin és projektív geometria

Hoffmann Miklós, Papp Ildikó

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

1. fejezet - Áttekintés – eddig megismert transzformációk

1. fejezet - Áttekintés – eddig megismert transzformációk

A geometria legfontosabb feladata az alakzatok leírása mellett azok transzformációjának vizsgálata. Ebben a fejezetben először áttekintjük azokat az eszközöket, melyekkel egy transzformációt geometriailag és analitikusan jellemezni tudunk, majd sorra vesszük az alkalmazások szempontjából fontos transzformációkat. Ennek során át fogjuk lépni az euklideszi geometria kereteit, ami azonban elengedhetetlen az olyan típusú problémák vizsgálatához, mint pl. a térbeli alakzatoknak egy pontból való vetítése síkra, ahol is a párhuzamos egyenesek metsző egyenesekbe mehetnek át.

Először is tisztázzuk, hogy mit értünk a címben említett transzformáción.

1.1. Definíció. Ha egy ponttér pontjaihoz egy másik ponttér pontjait kölcsönösen egyértelműen rendeljük hozzá, akkor ezt a hozzárendelést leképezésnek nevezzük. Ha , azaz a teret önmagára képezzük le, akkor az tér transzformációjáról beszélünk.

A leképezést nemelfajultnak nevezzük, ha elvégzése során a dimenziószám nem változik. Az elfajult leképezések, ahol tehát a képtér dimenziója alacsonyabb az eredetinél, fontos szerepet játszanak például a térbeli alakzatok síkra történő vetítésénél, ami a számítógépes megjelenítés egyik kulcskérdése. Ezekről később részletesen szólunk majd, addig azonban kizárólag nemelfajult leképezéskről lesz szó, így a nemelfajult szót elhagyjuk.

A transzformációk jellemzésére elsősorban az szolgál, hogy milyen geometriai tulajdonságokat őriznek meg, más szóval mit hagynak invariánsan. Az alkalmazások szempontjából szinte kizárólag azon transzformációk érdekesek, melyek egyeneshez egyenest rendelnek, azaz egyenestartók. Ezeket lineáris transzformációknak nevezzük, de mivel csak ilyenekről lesz szó, a lineáris szót legtöbbször elhagyjuk. Szintén alapvető invariáns tulajdonság az illeszkedéstartás, azaz egy pont és egy egyenes képei akkor és csakis akkor illeszkednek egymásra, ha az eredeti alakzatok is illeszkedőek voltak. A további invariáns tulajdonságok között lesznek jól ismertek, mint a szög, vagy a párhuzamosság és lesznek olyanok is, melyeket most fogunk definiálni. A transzformációk leírására analitikus eszközöket, egyenletrendszereket és mátrixokat használunk majd. Ezzel kapcsolatban feltesszük, hogy az olvasó tisztában van a lineáris egyenletrendszerek tulajdonságaival illetve a mátrixalgebra elemeivel.

Mozgások és egybevágósági transzformációk

Először a legismertebb transzformációkat tekintjük át, melyek az euklideszi síkot képezik le önmagukra: az eltolást és a különböző elforgatásokat. Ezeket, illetve ezek kombinációját közös néven mozgásoknak nevezzük. Az egyenes- és illeszkedéstartás mellett mindannyian invariánsan hagyják a szöget, a párhuzamosságot és a távolságot is. Szintén jól ismert transzformációk a tükrözések, melyek ugyancsak rendelkeznek a fenti invariáns tulajdonságokkal. A mozgások irányítástartóak, azaz egy háromszögben és képében a körüljárási irány nem változik meg. A tükrözések közül azonban a tengelyes tükrözés irányításváltó transzformáció. A síkbeli tükrözéseket elforgatásként is felfoghatjuk: a középpontos tükrözés nem más, mint a középpont körüli -os elforgatás, a tengelyes tükrözés pedig a tengely körüli térbeli -os elforgatásként is leírható. A mozgásokat és a tükrözéseket, illetve ezek egymás utáni elvégzését közös néven egybevágósági transzformációknak nevezzük.

A transzformációk analitikus leírásánál az egyenletrendszer azt adja meg, hogy az eredeti pont koordinátáiból hogyan kapjuk meg a képpont koordinátáit. Ha tehát adott az eltolás a vektorral, mely a pontot a pontba viszi, akkor ezt a következő egyenletrendszerrel írhatjuk le:

Hasonló egyenletrendszer írható fel az origó körüli szögű elforgatásra is:

Az origóra történő középpontos tükrözés egyenletrendszere

az tengelyre való tükrözés pedig

alakban írható. A transzformációk analitikus leírásának másik eszköze a mátrixos megadási mód. Ez a fenti, egyszerű transzformációknál talán erőltetettnek tűnhet, de a későbbi esetekben, illetve több transzformáció egymás utáni elvégzésekor a mátrixokkal való leírás rendkívül előnyös. Vezessük be az eredeti és a képpontok koordinátáiból álló oszlopvektorokat:

melyek segítségével a fenti transzformációk következő alakban írhatók fel: az eltolás

az elforgatás

az origóra való tükrözés

az tengelyre való tükrözés pedig

alakban írható.

Láthatjuk, hogy a mátrixos megadás egységes alakot eredményez, mindannyian alakban írhatóak fel és csak az 2x2-es mátrixban különböznek egymástól. Az eltolásnak (illetve minden olyan összetett transzformációnak, melyben eltolás szerepel) a mátrixos egyenletében egy plusz tag jelenik meg. A továbbiakban mindig egy eltolás mátrixát jelöli majd, azaz síkban 2x1-es, térben 3x1-es mátrixot. Később látni fogjuk, hogy az úgynevezett homogén koordináták bevezetésével az eltolás különleges helyzete is megszűnik, ami még egységesebb tárgyalást tesz lehetővé. A nemelfajult transzformációk leíró egyenletei a dimenziószám megőrzése miatt lineárisan függetlenek kell, hogy legyenek, amiből a transzformáció 2x2-es mátrixára nézve a sorok lineáris függetlensége, azaz a regularitás, mint szükséges feltétel következik.

Az egybevágósági transzformációk egymás utáni elvégzése szintén egybevágósági transzformációt eredményez és korábbi tanulmányaink során beláttuk, hogy az egymás utáni elvégzésre, mint műveletre nézve az egybevágósági transzformációk algebrai csoportot alkotnak. Ha két nemelfajult transzformáció mátrixát összeszorozzuk, akkor a szorzatmátrix a két transzformáció egymás utáni elvégzését írja le, a mozgások csoportjához tehát szorosan kötődik egy mátrixcsoport. Fontos megjegyeznünk, hogy ahogyan a mátrixok csoportja nemkommutatív, úgy a transzformációk csoportja sem az, sokszor nem mindegy tehát, hogy milyen sorrendben végezzük el a transzformációkat. A mátrixcsoport E egységmátrixa az identikus transzformációnak felel meg (azaz minden pont önmaga képe lesz), egy  mátrix   inverz mátrixa pedig az  mátrix által leírt transzformáció inverzét adja meg, amikor is a képpontokhoz az eredeti pontokat rendeljük.

Ebből következik, hogy ha például a sík tetszőleges (origótól különböző) pontjára akarunk tükrözni, akkor a következőképpen járhatunk el: elvégzünk egy eltolást, ami az pontot az origóba viszi, majd tükrözünk az origóra, végül elvégezzük az előző eltolás inverzét. Hasonló módon tükrözhetünk egy általános egyenesre is: egy elforgatás vagy eltolás segítségével az egyenest az tengelybe visszük át, elvégezzük az tengelyre a tükrözést, majd az első transzformáció inverzével visszaállítjuk az egyenes eredeti helyzetét.

Több transzformáció egymás utáni elvégzésekor a mátrixok tehát összeszorzódnak. Egy ilyen szorzatmátrixról nem mindig egyszerű eldöntenünk, hogy milyen elemi transzformációkat takar, azt viszont el tudjuk dönteni, hogy az adott mátrix egybevágósági transzformáció mátrixa-e. A regularitás ehhez szükséges, de nem elégséges feltétel, igaz viszont a következő tétel:

1.2. Tétel. Egy 2x2-es mátrix nemelfajult egybevágósági transzformáció mátrixa ha ortogonális, azaz , ahol az mátrix transzponált mátrixa.

Eszerint a síkbeli egybevágósági transzformációk általános alakja tehát

-ban hasonló módon írhatjuk fel a transzformációkat. Az eltolás és a tükrözések leírása teljesen analóg a kétdimenziós esettel (a síkra való tükrözéskor pl. az koordinátasíkra tükrözhetünk), ezért csak a különböző típusú forgatásokat részletezzük. Az origó körüli elforgatást térben leírhatjuk úgy, mint a három koordinátatengely körüli elforgatás egymás után való elvégzését. Ez azt jelenti, hogy egyszerre mindig csak két koordináta transzformálódik, ami a mátrixos felírásból könnyen kiolvasható. Ha tehát adott az eredeti és a képpont koordinátáinak oszlopvektora:

akkor az tengely körüli szögű elforgatás egyenlete:

az tengely körüli szögű elforgatás egyenlete:

végül a tengely körüli szögű elforgatás egyenlete:

alakban írható, ahol a szögek mindig pozitívak a jobbsodrású rendszer szerint.

Sokszor előfordul, hogy egy adott irányú tengely körül akarunk forgatni. Ezt a forgatást nem mindig egyszerű szétbontani koordinátatengelyek körüli forgatásokra, ezért térünk ki külön erre az esetre. Ha tehát adott a térben egy egységvektor, akkor az ezen irányú, origóra illeszkedő egyenes körül szöggel történő elforgatás egyenlete (a szög az origó felől nézve pozitív):

ahol .

Természetesen -ba is érvényes mindaz, amit a síkbeli euklideszi transzformációk elfajultságáról, egymás utáni elvégzéséről, illetve a mátrixok regularitásáról, ortogonalitásáról elmondtunk.