Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

12. fejezet - Felületi görbék jellemzése, sokaságok

12. fejezet - Felületi görbék jellemzése, sokaságok

Geodetikus vonalak

Ha két pont távolságát szeretnénk a felületen kiszámolni, akkor tehát a két pont közötti legrövidebb ívhosszú felületi görbét kell megkeresnünk. Legyen adva egy felület és annak két, és pontja. Legyen egy, a és -n átmenő felületi görbe, azaz létezzen olyan és paraméter, melyre

Ennek az ívhoszza:

Olyan differenciálható függvénypárt kell keresnünk, amely kielégíti az első két egyenletet és minimálissá teszi a fenti integrált. Ez egy variációs problémát jelent. A megoldást az úgynevezett Euler-Lagrange féle differenciálegyenlet-rendszer megoldásai között kereshetjük. A differenciálegyenlet-rendszer megoldásait stacionárius görbéknek nevezzük.

12.1. Definíció. A felületi görbék ívosszának variációjánál a stacionárius görbéket geodetikus vonalaknak nevezzük.

A két pontot összekötő legrövidebb ívhosszú görbe mindig geodetikus, de nem minden geodetikus ad legrövidebb ívhosszú görbét. A hengerfelületen a hengeres csavarvonalak, az alkotók és a tengelyre merőleges körök a geodetikusok. Két, különböző magasságban és különböző alkotón elhelyezkedő ponton végtelen sok hengeres csavarvonal halad át de ezek közül csak egy a legrövidebb ívhosszú.

Ha egy felületre egy egyenes illeszkedik, akkor az nyilván geodetikus, hiszen az a legrövidebb ívhosszú görbe nemcsak a síkgörbék, hanem a térgörbék között is.A geodetikusokra érvényesek a következő tételek:

12.2. Tétel. Minden pontból minden irányban egyetlen geodetikus indul ki.

12.3. Tétel. Egy felületi görbe akkor és csak akkor geodetikus, ha a felületi normálisnak és a görbe főnormálisának iránya megegyezik.

12.4. Definíció. Egy felületi görbe -beli geodetikus görbületén azon görbe görbületét értjük, melyet úgy kapunk, hogy az görbét merőlegesen vetítjük a -beli érintősíkra.

12.5. Tétel. Egy görbe akkor és csak akkor geodetikus, ha geodetikus görbülete zérus.

A geodetikusok megkeresése még ezen tételek segítségével sem mindig könnyű, sokszor nem lehet zárt alakban megadni őket. Ha a felület forgásfelület, akkor újabb adalékot ad a geodetikusok természetéhez a következő, Clairaut-tól származó tétel.

12.6. Tétel. Ha a forgásfelület egy pontjában a parallel kör sugara , a kör érintőjének és az adott pontra illeszkedő valamely geodetikus érintőjének a szöge , akkor ennek a geodetikusnak minden pontjában az

Ez azt jelenti, a nagyobb parallel köröket a geodetikusok általában nagyobb szög alatt metszik, mint a kisebb sugarú parallel köröket (lásd 12.1. ábra). Ez alól kivétel természetesen az a speciális eset, amikor minden parallel kört merőlegesen metsz a geodetikus, hiszen ekkor miatt a kifejezés konstans. Ez utóbbi eset éppen a forgásfelület kontúrgörbéjét eredményezi, tehát ha egy síkgörbét megforgatunk a síkjába eső tengely körül, akkor a kapott forgásfelületen a síkgörbe (és annak bármely elforgatottja) geodetikus lesz. Másképpen megközelítve: a forgásfelületet forgástengelyre illeszkedő síkkal metszve geodetikusokat kapunk.

12.1. ábra. A forgásfelület geodetikusa a nagyobb parallel köröket nagyobb szögben metszi

Az egyenes körhenger esetében, ahol a parallel körök mind ugyanakkora sugarúak, azaz konstans, a fenti tétel miatt a szögnek is konstansnak kell lennie. Tehát az egyenes körhenger geodetikusai az alkotók (ahol ), maguk a parallel körök (ahol ), illetve a körhengeren futó bármely hengeres csavarvonal. Ez utóbbi tény világít rá arra is, hogy a geodetikus görbék nem feltétlenül adják a felület két pontja között a legrövidebb utat. Tekintsük ugyanis az egyenes körhenger egy alkotóját, ezen pedig két pontot. E két pont számos hengeres csavarvonalra illeszkedik, amik mindannyian geodetikusai a hengernek, a legrövidebb utat mégsem ezek adják, hanem magának az alkotónak - mely szintén geodetikus - a két pont közé eső szakasza.

A gömb esetében könnyen belátható, hogy a geodetikusok éppen a főkörök.

Megemlítjük még, hogy a felületek egymásra való leképezései között nagy jelentőségűek azok a leképezések, melyek geodetikusokat geodetikusokba képeznek le, tehát például egy felület a síkra úgy, hogy a felület geodetikusai egyenesekbe menjenek át.