Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A Gauss-görbület

A Gauss-görbület

A normálgörbület rögzített pont esetén is függ az érintőiránytól. Ez lehetőséget ad az érintő iránya szerinti szélsőérték keresésére, azaz egy adott pontban az érintőt körbeforgatva keressük a minimális és maximális görbületet. Tekintsük -t az síknak az origót körülvevő zárt körgyűrűjén. A az -nek racionális törtfüggvénye, így az origón átmenő bármely egyenes mentén konstans, az említett körgyűrűn a teljes értékkészletét felveszi. A szélsőérték keresése egy másodfokú egyenlethez vezet, mely

alakban írható föl. A determinást kifejtve egy másodfokú egyenletet kapunk -re. Az így kapott értékeket főnormálgörbületeknek, főnormálgörbületekhez tartozó irányokat főirányoknak nevezzük.

A szélsőértékeket egy másodfokú egyenlet megoldásaként kaptuk, ezáltal a gyökök és együtthatók közötti összefüggés alapján képezhető a

szorzatgörbület, melyet Gauss-görbületnek, és a

összeggörbület, melyet Minkowski-görbületnek nevezünk.

Abban az esetben, ha a maximuma és minimuma egybeesik, azaz , akkor egy iránytól független konstans és minden irány szélsőértékirány. A gömbnek minden pontja ilyen tulajdonságú, mert egy sugarú gömb minden normálmetszete egy főkör, melynek a görbületi sugara . Az ilyen pontokat, ahol , gömbi pontoknak nevezzük. Az olyan pontokat, ahol síkpontoknak nevezzük. A sík minden pontja ilyen tulajdonságú. Végül lehetséges, hogy , azaz ellentétes előjelűek, de egyező abszolútértékűek a főnormálgörbületek. Ekkor minimálpontról beszélünk. A minimálfelületek minden pontja minimálpont.

A Gauss-görbület a definíció alapján kiszámítható alakban, azaz a második és az első alapmennyiségek mátrixainak determinánsa segítségével. Maga a görbület jól jellemzi a felület görbültségi viszonyait egy pont megfelelő környezetében.

11.1. ábra. Elliptikus, hiperbolikus és parabolikus pont az érintősíkkal és a főnormálmetszetekkel

11.8. Tétel. Egy felületi pont elliptikus, parabolikus ill. hiperbolikus akkor és csak akkor, ha a pontbeli Gauss-görbülete pozitív, nulla ill. negatív.

Legyen a tekintett felületi pont egy tetszőleges irányhoz tartozó normálgörbülete, a két főnormálgörbület és a és irányok által bezárt szög.

11.9. Tétel. (Euler tétele) .

A normálgörbületet leíró képletben az első és második alapmennyiségek is szerepeltek. Ezért meglepő a következő tétel, a felületelmélet főtétele:

11.10. Tétel. (Theorema egregium) A Gauss-görbület csak az első alapmennyiségek függvénye.

Ez a látszólag technikai jellegű állítás nagyon fontos következménnyel jár. Tegyük fel ugyanis, hogy egy felületet úgy akarunk leképezni egy másik felületre, hogy közben a rajta lévő pontok távolsága ne változzon (az ilyen leképezést izometrikus leképezésnek nevezzük). A felületen két pont távolságát egy ívhossz adja meg, mely viszont kizárólag az első alapmennyiségek függvénye. Így a fenti tétel értelmében két felület között izometrikus leképezés csak akkor létezhet, ha a két felület Gauss-görbülete pontonként megegyezik. Legyen ugyanis az egyik felület , melynek első alapmennyiségei , a másik, felület első alapmennyiségei pedig . Tegyük föl, hogy a két felületet pontonként kölcsönösen egyértelműen egymásra képeztük, majd megfelelő paramétertranszformációval elértük, hogy minden párra . Egy rögzített pontban és egy abból kiinduló rögzített irányban vizsgáljuk meg az egymásnak megfelelő ívhosszak esetleges torzulását, amit határértékben a

kifejezés ír le. Tudjuk, hogy az ívhossz mérése mindkét felületen a

képlet alapján történik. Mivel a torzítás képletében szereplő határérték deriváláshoz vezet, írhatjuk, hogy

Ha a leképezés torzításmentes, akkor az utolsó hányados számlálójának és nevezőjének minden pontban és minden irányban meg kell egyeznie, ami csak úgy lehetséges, ha , és teljesül.

Ha megengedünk torzítást, de elvárjuk, hogy egy pontból minden irányban azonos legyen a torzítás mértéke, akkor a fentiek szerint

Ez viszont minden irányra csak akkor teljesül, ha , és . Az ilyen leképezés szögtartó, hiszen a minden irányban azonos mértékű torzítás a nagyításnak vagy kicsinyítésnek felel meg. Az ilyen leképezéseket konform leképezéseknek is nevezzük. Hangsúlyozzuk, hogy a szögtartás általában nem jár együtt a távolságtartással, visszafelé azonban igen: minden távolságtartó leképezés szögtartó is.

Még kevesebb elég ahhoz, hogy a leképezés területtartó legyen. A felszínszámítás képletéből kiindulva hasonló módon látható be, hogy ehhez az

azonosságnak kell teljesülnie.

A fentiek értelmében a síkra csak olyan felület képezhető le izometrikusan, melynek Gauss-görbülete minden pontjában nulla. Az ilyen felületek éppen az előző fejezetben tárgyalt kifejthető felületek.

11.11. Példa. A gömb konstans pozitív Gauss-görbületű felület, míg a sík Gauss-görbülete minden pontban zérus. Így a két felület nem képezhető le egymásra izometrikusan, azaz például nem készíthető távolságtartó (léptéktartó) térkép a Földről. Készíthető viszont szögtartó térkép, melyet a légi és vízi közlekedésben használnak.

Megjegyezzük még, hogy a gömb fontos szerepet játszik a Gauss-görbület másféle értelmezésében is. Görbék esetén vizsgáltuk azt a leképezést, melyben a görbe pontjaihoz az egységsugarú kör pontjait rendeltük, mégpedig azt a pontot, amelyiket a görbe adott pontbeli főnormális vektorának origóból induló reprezentánsa jelöl ki.

11.2. ábra. A felület Gauss-féle gömbi leképezése

Ehhez hasonlóan definiálhatunk a felületen is egy leképezést.

11.12. Definíció. A felület minden pontjához rendeljük hozzá az origó középpontú, egységnyi sugarú gömbnek azt a pontját, melyet az adott pontbeli normális egységvektor origóból induló repreneztánsa jelöl ki. Ezt a leképezést Gauss-féle gömbi leképezésnek, a felületnek a gömbön keletkezett képét gömbi képnek nevezzük. (11.2. ábra).

Megjegyezzük, hogy a görbékhez hasonlóan a felületeknél is igaz, hogy a leképezés egyértelmű, de nem feltétlenül kölcsönsen egyértelmű. Minden pont körül létezik azonban olyan kis tartomány a felületen, melynek gömbi képe kölcsönösen egyértelmű módon jön létre.

Ahogy a görbék görbületét lehetett vizsgálni a normálisok által az egységkörön kijelölt ív és a görbeív hányadosának határértékeként, úgy igaz ez a felületek esetére is, csak most ívhosszok helyett felszínek hányadosát kell tekintenünk. A most következő állításból látszik igazán, hogy a felületek Gauss-görbülete egyenes általánosítása a görbék görbületfogalmának.

11.13. Tétel. Legyen adott a felület valamely pontja. Tekintsük ennek a pontnak olyan környezetét a felületen, melynek gömbi képe kölcsönösen egyértelmű módon jön létre. Ekkor a felület adott pontbeli Gauss-görbülete előáll a felületdarab felszínének és a gömbi leképezésben ennek megfelelő gömbsüveg felszínének hányadosaként, azaz

ahol a felületnek, pedig a gömbnek az első alapmennyiségei, míg az a tartomány felszíne.