Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Felületi görbék görbülete

Felületi görbék görbülete

Vizsgáljuk most meg a felületi görbék görbületi viszonyait, melynek kiszámításában az első és második alapmennyiségeknek fontos szerep jut majd. Egy felület egy rögzített pontján áthaladó különböző felületi görbék görbületei nem lehetnek egymástól teljesen függetlenek, mert az, hogy egy felületen vannak, már megkötést jelent. Legyen egy felület, ezen egy görbe és annak egy pontja. Tegyük fel, hogy a görbe -beli simulósíkja nem esik egybe a felület érintősíkjával, azaz a görbe főnormálisa és a felület normálvektora nem esnek egybe. Vezessük be az ívhosszt paraméternek majd a Frenet-képletek egyikét tekintsük: . Kihasználjuk azt a tényt, hogy a érintővektor a felület érintősíkjának is vektora kiszámítjuk a következő belső szorzatot:

melyből a görbület

A jobb oldal első tényezője rögzített normálvektor esetén csak a főnormális állásától, a második tag csak az érintővektortól függ. Így teljesül a következő tétel:

11.5. Tétel. A felületi görbe görbülete csak az érintő irányától és a főnormális állásától függ, ha .

Az görbe simulósíkja egy síkgörbét vág ki a felületből, amelynek ugyanaz az érintővektora és főnormálisa, mint görbének. A felület adott pontjában megadott irányú és főnormálisú felületi görbék közül tehát görbületi szempontból elegendő az előbbi síkgörbét vizsgálni:

11.6. Tétel. Egy felületi görbe görbülete mindig megegyezik a simulósíkja által kimetszett felületi síkgörbe görbületével, ha .

Egy felület adott pontján átmenő, rögzített érintővel rendelkező görbék közül keressük meg a legkisebb görbületűt. Az előbbi eredményt felhasználva a jobb oldal második tényezője csak az érintő irányától függ, ebben az esetben változatlan. A szorzat akkor minimális, ha az szorzat maximális, azaz 1-gyel egyenlő. Ez azt is jelenti, hogy és így a görbe simulósíkja tartalmazza az -t. A felületnek az felületi normálison átmenő síkokkal való metszeteit normálmetszeteknek nevezzük. A normálmetszet görbülete

amely az adott irányhoz tartozó normálgörbület. A normálgörbület a fentiek alapján . Ebben a kifejezésben a és az csak a görbétől függ, míg az csupán a felületen választott paramétervonal-rendszertől, amennyiben irányításváltó paraméter-transzformáció esetén és vele együtt is előjelet vált. Tehát a normálgörbület irányítástartó paraméter-transzformációval szemben invariáns. Ha az és szögét -vel jelöljük, akkor az belső szorzat -vel egyenlő és .

A normálmetszet görbületi sugarára . Ha tehát a felület adott pontján átmenő tetszőleges felületi görbe -beli görbületi sugara görbülete pedig a -beli normálgörbületi sugár , a normálgörbület pedig , akkor közöttük a kapcsolat a következőképpen írható le:

11.7. Tétel. (Meusnier tétele) , illetve

Ez a tétel azt jelenti, hogy elegendő a normálgörbületet és a szöget ismernünk, ezekkel az adatokkal a görbületi sugár ill. maga a görbület meghatározható. A tételnek megadható egy szemléletes geometriai interpretációja. Ha -ból kiinduló vektor végpontja körül sugárral gömböt rajzolunk, akkor a -on átmenő bármely adott érintőjű felületi görbe simulósíkja a görbe simulókörét metszi ki az előbbi gömbből.