Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Felszínszámítás

Felszínszámítás

Legyen a T tartományon értelmezett elemi felület. Legyen B a T-nek egy egyszeresen összefüggő, korlátos, zárt, mérhető résztartománya. Ennek a képe egy felületdarab. A felületdarabba írt poliéder csúcsai a felületre, a kontúrján levő csúcspontok a B határának képére illeszkednek. Egy ilyen beírt poliéder normális, ha a poliéderhez a B olyan háromszögrendszere tartozik, hogy bármely pont legfeljebb egy háromszög belső pontja és a B-beli háromszögrendszer szögeinek van pozitív alsó korlátja. A beírt poliéder finomodó, ha a hozzátartozó B-beli háromszögrendszerben az oldalhosszak zérushoz tartanak.

11.1. Definíció. Egy felületdarab felszínén a felületdarabba írt finomodó, normális poliédersorozatok felszíneinek közös határértékét értjük.

11.2. Tétel. Legyen B az elemi felület értelmezési tartományának egy egyszeresen összefüggő, korlátos, zárt, mérhető résztartománya. A felület ehhez a tartományhoz tartozó darabjának létezik felszíne és

Egy véges felület felszínét úgy értelmezzük, hogy azt véges sok közös belső pont nélküli darabra vágjuk, melyekre már teljesednek a tétel feltételei és ezek felszíneinek összegeként definiáljuk a felület felszínét. Az integrál additivitásából adódik, hogy a kapott felszín független a darabolástól.Ha egy felület nem tesz eleget a tétel feltételeinek, de megközelíthető ennek elegettevő felületdarabok növekedő sorozatával, úgy ezek felszíneinek határértéke a felület felszíne. (Itt a növekedésen azt értjük, hogy egy felületdarab tartalmazza az őt megelőzőt és a felület minden pontja eleme valamely közelítő felületnek vagy ilyen pontokból álló sorozat határértéke.)

A felületdarab felszínének létezik egy másik értelmezése is. Legyen a felület alakban megadva, ahol az egy mérhető B tartományt fut be. A felületen a paramétervonalak egy görbevonalú rácshálózatot alkotnak. Legyen egy rácspont, és két szomszédos, pedig ezeket egy görbevonalú négyszöggé kiegészítő rácspont. A P-beli , paramétervonalérintők egy érintőparalelogrammát feszítenek fel. Ez a paralelogramma jól közelíti a PQRS felületi négyszöget. Minden pontban elkészítve az előbbi paralalogrammát egy "pikkelyrendszert" kapunk. A felület felszínét ilyen pikkelyrendszer pikkelyterület összegeinek határértékeként értelmezzük, ha a rácsrendszer minden határon túl finomodó. Egy ilyen pikkely területe

ezek összege a fenti tételben szereplő integrál integrálközelítő összege.

Ha a felület alakban adott, akkor a felszín kifejezése egyszerűsödik:

11.3. Példa. A gömb felszínének kiszámítása. Tekintsük a gömb következő előállítását:

Az első alapmennyiségeket fogjuk meghatározni.

A kapott parciális deriváltakat felhasználva:

Az alapmennyiségek mátrixának determinánsa

A gömbnyolcad felszínére kapjuk, hogy

melyből a teljes felszín