Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

11. fejezet - Felületi metrika, Gauss-görbület

11. fejezet - Felületi metrika, Gauss-görbület

Ebben az fejezetben a felületekkel kapcsolatban teszünk további, főként metrikus megállapításokat.

Felületi görbék ívhossza, az első alapmennyiségek

Az felületen az által meghatározott felületi görbének a ponttól számított ívhossza

ami a négyzetre emelést elvégezve

alakú lesz. A felületi görbe ívhosszának kiszámításához nem kell tehát ismernünk magát a felületet, az függvényeken kívül a paramétervonalérintők belső szorzataira van csupán szükségünk. Ezeknek a mennyiségeknek fontos szerepe van a felületi metrikában, így a felület első alapmennyiségeinek nevezzük:

Az első alapmennyiségekből képzett mátrix a belső szorzat tulajdonágából adódóan szimmetrikus és determinánsa

Így a felületi görbe ívhossza

Két, egymást metsző felületi görbe szögén a közös pontbeli érintővektoraik szögét értjük. Mivel minden felületi görbe érintővektora felírható az adott pontbeli paramétervonalak érintőinek lineáris kombinációjaként, így ezeket a vektorokat fölírhatjuk és alakban. A két vektor szögére

Ezt felhasználva

de a két vektor hosszának felírásakor is csupán az első alapmennyiségekre támaszkodhatunk, azaz a két felületi görbe szögének felírása is csupán ezek segítségével történik.