Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Csőfelületek

Csőfelületek

Műszaki problémáknál gyakran kell olyan felületet terveznünk, melyet úgy kapunk, hogy egy változó sugarú gömb középpontja egy görbe mentén mozog, mi pedig a gömbsereg burkolóját keressük.

Tekintsük a gömb következő egyenletét:

ahol a gömb pontja, a középpontja, pedig a sugara. Ha ebből a gömbből egyparaméteres gömbsereget akarunk létrehozni, akkor ezt úgy tehetjük meg, hogy a középpont egy görbén fog mozogni, melyet jelöljön , miközben a sugár is a paramétertől függő érték lesz: (ez tehát nem vektor, csak egy valós értékű, valós változós függvény). Az így kapott gömbsereg burkolóját keressük. Ehhez szükségünk van a gömbön arra a körre, melyben a burkoló az adott gömböt érinteni fogja. Ez általában nem főkör, megkereshető viszont a két "szomszédos" gömb metszetkörének határhelyzeteként. Tekintsük tehát az és az gömböket, ahol egy kis érték. Két gömb metszetköre a gömbök hatványsíkjában van, ami felírható alakban. Ebből látható, hogy ha , akkor a hatványsík határhelyzete éppen az szerinti deriváltja lesz. Ennek akármilyen skalárszorosa is megfelelő:

Geometriailag ezt a kört az gömbön úgy is megkereshetjük, hogy egy pontból érintőkúpot állítunk a gömbre, aminek érintési köre lesz a keresett kör. A kérdéses pont:

Ez a pont az görbe adott pontbeli érintőegyenesén van. Magának a burkoló felületnek a felírásához használjuk az görbe Frenet-féle koordináta-rendszerét, melynek tehát origója az aktuális pont, egységvektorai pedig a görbe érintő egységvektora, főnormálisa és binormálisa. Ebben az érintőkör centruma

a sugara pedig Pitagorasz tétele alapján

így a felület egyenlete

10.2. ábra. A gömbsereg néhány eleme, az érintőkörök és a kész felület

Ilyen felület látható a 10.2. ábrán. Megjegyezzük, hogy minden forgásfelület előállítható az itt leírt módon úgy, hogy a gömb középpontja a forgástengely mentén mozog. Hasonlóan leírt felületek a műszaki életben használatos Dupin-cikloidok.