Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

10. fejezet - Speciális felületek

10. fejezet - Speciális felületek

A speciális görbékhez hasonlóan a felületeknél is találunk számos olyan felülettípust, melyek a műszaki életben egyéb alkalmazásokban kiemelkedő szerephez jut. Ebben a fejezetben olyan felületekkel ismerkedünk meg, melyek az építészettől a hajógyártásig számos alkalmazást nyernek a mindennapi életben.

Vonalfelületek

Egy speciális, az alkalmazások szempontjából fontos felületcsoportot, a vonalfelületeket közelebbről is megvizsgálunk. Legyen adott egy

egyenes. Ha ez az egyenes a térben egy görbe mentén mozog, azaz és egy -től különböző paramétertől függ, akkor az egyenes által súrolt

felületet vonalfelületnek nevezzük. A görbét a felület direktrixének, a rögzített paraméterhez tartozó egyeneseket alkotóknak nevezzük.

Vizsgáljuk meg a felület normálvektorát:

Láthatjuk, hogy az paramétert rögzítve és -t változtatva, azaz a felület egyik  alkotóján végighaladva a normálvektor iránya is változik. Ugyanakkor az érintősík minden pontban tartalmazza az adott pontbeli alkotót, így tehát azt kaptuk, hogy az alkotó pontjaiban az érintősíkok egy síksort alkotnak, melynek tartóegyenese éppen az alkotó.

Tegyük fel most, hogy a normálvektor egyenletében a két vektor, és lineárisan függők. Ekkor az alkotón végighaladva a normálvektornak csak hossza változik, az iránya nem. Így a fentiek értelmében az alkotó mentén az érintősík nem változik, vagy más szóval az felület érintősíkjai csak az paramétertől függnek. Az ilyen, egyparaméteres érintősíksereggel rendelkező vonalfelületeket kifejthető felületeknek nevezzük.

10.1. ábra. A vonalfelületek számos helyen megjelennek az építészetben: fönt Mátrai Hőerőmű hűtőtornyai, lent a japán Kobe-torony

A kifejthető felületeknél tehát és lineárisan függő kell, hogy legyen, azaz

kell, hogy teljesüljön. Ez alapján könnyen leírhatjuk a kifejthető felületek típusait, hiszen a fenti determináns csak akkor egyenlő nullával, ha

  1. , azaz konstans. Ekkor a felület

    alakú, azaz egy rögzített  pontra illeszkedő egyenesekből áll. Ezek éppen a kúpfelületek.

  2. , azaz konstans. Ekkor a felület

    alakú, azaz egy rögzített iránnyal párhuzamos egyenesekből áll. Ezek éppen a hengerfelületek.

  3. , azaz az alkotók iránya mindig párhuzamos a direktrixgörbe érintőjével. Ezeket a kifejthető felületeket tehát úgy írhatjuk le, mint egy térgörbe érintőegyeneseinek összességét.

A legtöbb vonalfelület tehát nem kifejthető, ilyen például a másodrendű felületek közül az egyköpenyű hiperboloid (.... ábra). A kifejthető felületekre a későbbiekben, a felületek görbületével kapcsolatban még visszatérünk.