Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Felületi görbék

Felületi görbék

9.5. Definíció. Legyen , egy felület előállítása és , a paramétersík tartományában egy görbe. Az görbe pontjainak képeit a felületen az egyparaméteres vektorfüggvény írja le. Az ilyen görbéket felületi görbéknek nevezzük.

9.2. ábra. A felület egy adott pontján áthaladó felületi görbék érintői egy síkot alkotnak

A felületi görbe egy pontjában az érintővektor:

Ha a felületen egy másik, ponton áthaladó görbét tekintünk, akkor annak érintővektora:

vagyis ugyanúgy a és lineáris kombinációja, mint az előbb. Ebből következik, hogy bármely ponton áthaladó felületi görbe érintővektora a és vektorok által felfeszített síkban van. Ezt a síkot a felület -beli érintősíkjának, a benne fekvő vektorokat felületi vektoroknak nevezzük. Az érintősík egyenlete:

9.6. Definíció. Az , ( konstans) és az ( konstans), típusú felületi görbék az paramétersík koordinátatengelyeivel párhuzamos egyeneseinek képei a felületen. Ezeket paramétervonalaknak nevezzük.

9.3. ábra. A felület paramétervonalai és egy pontban az érintők

Az előzőekből következik, hogy a vektorok éppen a paramétervonalakat érintik.

9.7. Definíció. A paramétervonalak érintővektoraiból képzett, rájuk merőleges

vektort a felület normálvektorának, az ilyen irányú egységvektort normálegységvektornak nevezzük. Ez utóbbi jelölésére az jelölést használjuk.

Így az érintősík egyenlete alakban is írható. A normálegységvektor a felület által nincs egyértelműen meghatározva, ugyanis paraméter-transzformációkor az irányítása megváltozhat. Ez pontosan akkor történik meg, ha a transzformáció Jacobi-mátrixának determinánsa negatív.