Topológia és differenciálgeometria
Hoffmann Miklós
Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ
9.5. Definíció. Legyen
,
egy felület előállítása és
, a paramétersík
tartományában egy görbe. Az
görbe pontjainak képeit a felületen az
egyparaméteres vektorfüggvény írja le. Az ilyen görbéket felületi görbéknek nevezzük.
A felületi görbe egy 
pontjában az érintővektor:
Ha a
felületen egy másik, 
ponton áthaladó 
görbét tekintünk, akkor annak érintővektora:
vagyis ugyanúgy
a 
és 
lineáris
kombinációja, mint az előbb. Ebből következik, hogy bármely 
ponton
áthaladó felületi görbe érintővektora a 
és
vektorok által felfeszített síkban van. Ezt a síkot a
felület 
-beli érintősíkjának, a benne fekvő vektorokat felületi vektoroknak nevezzük. Az
érintősík egyenlete:
9.6. Definíció. Az
,
(
konstans) és az
(
konstans),
típusú felületi görbék az
paramétersík koordinátatengelyeivel párhuzamos egyeneseinek képei a felületen. Ezeket paramétervonalaknak nevezzük.
Az előzőekből következik, hogy a 
vektorok éppen a paramétervonalakat érintik.
9.7. Definíció. A paramétervonalak érintővektoraiból képzett, rájuk merőleges
vektort a felület normálvektorának, az ilyen irányú egységvektort normálegységvektornak nevezzük. Ez utóbbi jelölésére az
jelölést használjuk.
Így az érintősík egyenlete 
alakban is írható.
A normálegységvektor a felület által nincs egyértelműen meghatározva, ugyanis
paraméter-transzformációkor az irányítása megváltozhat. Ez pontosan akkor történik meg, ha a
transzformáció Jacobi-mátrixának determinánsa negatív.