Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Offszet görbék

Offszet görbék

8.10. Definíció. Ha adott az görbe, és ennek minden pontjától távolságra (azaz normálisa mentén -t felmérve) kijelölünk egy pontot, akkor az ezen pontok által meghatározott görbét az eredeti görbe offszet görbéjének nevezzük. Így az offszet görbe egyenlete:

A görbéhez tartozó offszet görbék a görbe két oldalán helyezkednek el attól függően, hogy negatív vagy pozitív. A definícióból kitűnik, hogy az offszet görbe paraméterezése az eredeti görbéhez igazodik, valamint az is, hogy az ponthoz tartozó offszet görbe pontokban az offszet görbe érintője párhuzamos az eredeti görbe ezen pontbeli érintőjével. Az offszet görbe érintővektora ugyanis

alakban írható, de a Frenet-képletek alapján

A fenti képletből az is következik, hogy még ha az eredeti görbe reguláris is, az offszet görbén előfordulhatnak csúcsok, azaz olyan pontok, ahol a derivált eltűnik (8.4. ábra).

8.4. ábra. Az ellipszis néhány offszet görbéje

Az offszet görbe görbülete és így simulókörének sugara egyszerűen felírható az eredeti görbe megfelelő adataiból:

Fontos megjegyeznünk, hogy az offszet görbe bizonyos esetekben közelebb kerülhet az eredeti görbéhez, mint az adott távolság. Ez úgy lehetséges, hogy habár az eredeti görbe pontjának és az offszet görbe pontjának távolsága természetesen , ugyanez a pont az eredeti görbe más pontjaitól -nél kisebb távlságra is lehet. Ez látható az 8.5. ábrán, a belső offszet görbék esetében, ahol az offszet görbe akár el is érheti az eredeti görbét. Mivel az offszet görbék fontos alkalmazást nyernek a marógépek, esztergagépek vezérlésében, ezeket az eseteket különös gonddal kell kezelni a gyakorlatban.

8.5. ábra. A parabla néhány offszet görbéje. A belső offszet görbék az eredeti görbe más pontjaihoz közelebb kerülhetnek, mint az adott konstans.

Az offszet görbék egy másik megközelítése az lehet, ha az eredeti görbe mentén egy sugarú kör középpontját mozgatva, ezen körsereg burkolóját keressük meg. Ha az adott görbe alakú, akkor a körsereg leírása, ahol a körök paramétere, pedig a seregparaméter:

Ezen körök burkolóját keressük, ahol a burkolás érintési pontjainál az érintő párhuzamos az eredeti görbe megfelelő paraméteréhez tartozó pontban az érintővel. Ez leírható úgy, hogy a körsereg és szerinti deriváltjának párhuzamosnak kell lennie, azaz

teljesül valamilyen konstansra. Ez végül a következő burkolási feltételhez vezet:

melynek segítségével a fenti seregleírásból kifejezhetjük a burkolót, azaz az offszet görbét.