Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Görbék a gömbön

Görbék a gömbön

A 8.2. ábrán látható loxodróma olyan görbe, melynek minden pontja egy adott gömbön van. A gömbre nyilvánvalóan végtelen sokféle görbét lehet rajzolni, kérdés azonban, hogy hogyan lehet eldönteni egy paraméteres formában adott görbéről, hogy egy gömbön van-e. Az alábbi tétel mutatja, hogy ez korántsem triviális.

8.9. Tétel. Az ívhossz paraméterezésű görbe akkor és csakis akkor fekszik egy gömbön, ha torziója sehol sem tűnik el, valamint torziójára és görbületére igaz, hogy

Bizonyítás. A bizonyítás, amit csak az egyik irányban végzünk el, azon alapszik, hogy ha a görbe rajta van egy gömbön, akkor minden pontjában ez a gömb lesz a simulógömbje. Az ponthoz tartozó simulógömb középpontját az

egyenlet szolgáltatja. De gömbi görbe esetén minden pontban az adott gömb a simulógömb, azaz független -től, konstans. Ekkor deriváltja eltűnik, ami rövid számolás után a

egyenletet eredményezi, amiből a zárójelben lévő összeg zérus volta és így az állítás is következik.

A gömbön lévő körökön, főkörökön és a már látott loxodrómán kívül számos nevezetes gömbi görbe létezik. Ilyen például a Viviani-görbe, mely metszetgörbeként akkor keletkezik, amikor a gömböt egy egyenes körhengerrel elmetszük úgy, hogy egy pontban a henger és a gömb érintősíkja azonos.

Egy másik nevezetes görbe a gömbön a baseball-görbének is nevezett görbe, melyet a baseball- vagy a teniszlabdán láthatunk körbefutni. Ennek a görbének nyilvánvaló okok miatt két merőleges síkra szimmetrikusnak, önmagába 180 fokkal elforgathatónak kell lennie, periodicitással kell bírnia (azaz léteznie kell olyan számnak, melyre , valamint a leglényegesebb tulajdonsága, hogy két egybevágó részre kell osztania a gömb felszínét. A gömb bármely főköre rendelkezik ezekkel a tulajdonságokkal, ezek azonban síkgörbék. Ha a fenti tulajdonságú térgörbét keresünk a gömbön, komoly matematikai és műszaki problémába ütközünk, melynek egy megoldása látható a 8.3. ábrán és a következő videón.

8.3. ábra. Ez a térgörbe a gömbfelületet két egybevágó részre osztja.

  V I D E Ó