Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Bertrand és Mannheim görbepárok

Bertrand és Mannheim görbepárok

Két klasszikus görbepárral ismerkedünk meg ebben az alfejezetben. Konstruktív definíciójuk után szükséges és elégséges feltételt tudunk megfogalmazni arra, hogy egy görbe ilyen pár tagja legyen.

8.3. Definíció. Adott az görbe, melynek görbületfüggvénye és torziófüggvénye sehol sem tűnik el. A görbét Bertrand görbének nevezzük, ha létezik olyan görbe, hogy az és görbék normálisai valamennyi paraméternél megegyeznek. A görbét az eredeti görbe Bertrand társának is nevezzük.

A definícióból belátható a következő előállítás.

8.4. Tétel. Bármely görbe Bertrand társát felírhatjuk

alakban, ahol az eredeti görbe főnormálisa, pedig valós konstans.

Bizonyítás. Parametrizáljuk ugyanis a görbét ívhossz szerint: és tegyük föl, hogy létezik Bertrand társa: . Ekkor tehát az első görbe pontbeli kísérő triéderének és a második görbén ennek megfelelő pontbeli kísérő triédernek a főnormálisa azonos egyenesre illeszkedik. A két pont távolsága legyen , melyről szeretnénk belátni, hogy konstans. A második görbe paraméterezése nem feltétlenül ívhossz szerinti, de nyilván függ -től. Így a második görbe felírható

alakban. A baloldal szerinti deriváltja

Az egyenlet jobb oldalát szerint deriválva

A Frenet-képletek felhasználásával ebből

Ezt az egyenletet az vektorral skalárisan szorozva kapjuk, hogy

de a feltétel miatt , azaz a baloldal nulla, a jobbldalon pedig , miatt egyedül az utolsó tag nem tűnik el. Itt , tehát végül , azaz a konstans.

8.5. Tétel. Az görbe Bertrand görbe akkor és csakis akkor, ha

teljesül valamilyen konstansokra.

Bizonyítás. A két görbén az egymásnak megfelelő pontokban a kísérő triéderek relatív elfordulását akarjuk felírni. Tegyük föl, hogy a görbén lévő pontbeli érintő egységvektor és a neki megfelelő, görbén lévő pontbeli érintő egység vektor szöge . Erről is szeretnénk belátni, hogy konstans, azaz nem függ az paramétertől. Ekkor tehát

Ezt szerint deriválva, majd a Frenet-képleteket alkalmazva a baloldal

alakú lesz, a jobboldal pedig

alakú. De tudjuk, hogy minden pontban, így az egyenletet előbb a vektorral, majd a vektorral skalárisan szorozva azt kapjuk, hogy és . Ebből viszont

miatt , azaz az konstans állandó. Ezzel és az előző bizonyításban levezetett egyenlettel tehát a és konstansokra

teljesül. Ez a két egyenlet csak akkor nem ellentmondó, ha

amiből már helyettesítéssel következik, hogy és ezt akartuk bizonyítani.

A Bertrand görbékkel kapcsolatban megjegyezzük még, hogy ha egy görbének több mint egy Bertrand társa létezik, akkor végtelen sok társa van. Ez az eset pontosan akkor következik be, ha az eredeti görbe hengeres csavarvonal.

A Bertrand görbékhez hasonló típusú görbék a Mannheim görbék.

8.6. Definíció. Adott az görbe, melynek görbületfüggvénye és torziófüggvénye sehol sem tűnik el. A görbét Mannheim görbének nevezzük, ha létezik olyan görbe, hogy az görbe főnormális egyenese minden paraméternél megegyezik a görbe binormális egyenesével. A görbét az eredeti görbe Mannheim társának is nevezzük.

A Mannheim görbékről hasonló tételek vezethetők le, mint a Bertrand görbékről.

8.7. Tétel. Ha az görbének létezik Mannheim társa, akkor felírhatjuk

alakban, ahol a Mannheim társgörbe binormálisa, pedig valós konstans.

8.8. Tétel. Az görbe Mannheim görbe akkor és csakis akkor, ha

teljesül valamilyen konstansokra.