Hoffmann Miklós
Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ
Ebben a fejezetben tovább vizsgálunk néhány speciális, az alkalmazások szempontjából érdekes és fontos görbetípust.
Vizsgáltuk azokat a görbéket, melyek görbületfüggvénye, torziója, vagy mindkettő konstans. Most olyan görbetípussal ismerkedünk meg, ahol ezen függvények önmagukban nem feltétlenül állandók, de arányuk állandó marad.
8.1. Definíció. Az
térgörbét lejtővonalnak vagy általánosított csavarvonalnak nevezzük, ha érintőegyenesei konstans szöget zárnak be egy adott iránnyal, azaz létezik
szög és
vektor úgy, hogy
és
szöge
.
Nyilvánvalóan minden síkgörbe lejtővonal lenne a síkjára merőleges vektorra és
-re nézve, ezért foglalkozunk csak térgörbékkel. A hengeres
csavarvonal lejtővonal, sőt a lejtővonalat általánosított csavarvonalnak is szokás nevezni. Az
egyenes körkúpra írt lejtővonalat kúpos csavarvonalnak (8.1. ábra és a következő
videó), a gömbre írt lejtővonalat loxodrómának nevezzük (lásd 8.2. ábra és a
következő videó).
8.1. ábra. A baloldalon a közönséges hengeres csavarvonal, jobbra pedig a kúpos csavarvonal látható. Mindkét görbe érintői konstans szöget zárnak be a tengellyel. Érdekes összevetni a paraméteres egyenleteiket:
illetve
.
8.2. Tétel. (Lancret) Tekintsünk egy görbét, melynek görbülete és torziója sehol sem tűnik el. A görbe lejtővonal akkor és csakis akkor, ha görbületének és torziójának hányadosa (nullától különböző) állandó.
Bizonyítás. Az egyszerűség kedvéért tegyük föl, hogy az
görbe ívhossz szerint parametrizált, az adott
vektor pedig egységvektor. Ekkor a lejtővonal definíciója szerint létezik olyan
szög, melyre
Ebből ívhossz szerinti deriválással a Frenet-képletek alapján azt kapjuk, hogy
Mivel a görbületfüggvényről feltettük, hogy nem nulla, így
. Másrészt szintén a Frenet-képletek miatt
, amiből
azaz az
is állandó, a binormális vektor is állandó szöget zár be a az adott vektorral. Legyen ez a szög
, amiből
. Mivel az
vektor merőleges a főnormálisra, fölírható az érintő egységvektor és a binormális egységvektor lineáris kombinációjaként:
de a két egységvektor merőlegessége miatt az
vektor koordinátái ebben a bázisban csakis
és
lehet, másrészt a két szögre vagy
vagy
teljesül. Így
amiből
szerint deriválva és a Frenet-képleteket alkalmazva
amiből már következik, hogy
, azaz
azaz állandó.
Fordítva, ha feltesszük, hogy
állandó, akkor mindig található olyan
szög, melyre ez az állandó éppen
, vagyis
, amiből a Frenet-képletek szerint
Ebből pedig következik, hogy a
vektor állandó egységvektor, jelölje
. De ekkor
, ami igazolja az állítást.
8.2. ábra. A gömbre rajzolt általánosított csavarvonal neve loxodróma. Érintői állandó szöget zárnak be a két pólust összekötő iránnyal.