Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

8. fejezet - Speciális görbék II.

8. fejezet - Speciális görbék II.

Ebben a fejezetben tovább vizsgálunk néhány speciális, az alkalmazások szempontjából érdekes és fontos görbetípust.

Általánosított csavarvonalak

Vizsgáltuk azokat a görbéket, melyek görbületfüggvénye, torziója, vagy mindkettő konstans. Most olyan görbetípussal ismerkedünk meg, ahol ezen függvények önmagukban nem feltétlenül állandók, de arányuk állandó marad.

8.1. Definíció. Az térgörbét lejtővonalnak vagy általánosított csavarvonalnak nevezzük, ha érintőegyenesei konstans szöget zárnak be egy adott iránnyal, azaz létezik szög és vektor úgy, hogy és szöge .

Nyilvánvalóan minden síkgörbe lejtővonal lenne a síkjára merőleges vektorra és -re nézve, ezért foglalkozunk csak térgörbékkel. A hengeres csavarvonal lejtővonal, sőt a lejtővonalat általánosított csavarvonalnak is szokás nevezni. Az egyenes körkúpra írt lejtővonalat kúpos csavarvonalnak (8.1. ábra és a következő videó), a gömbre írt lejtővonalat loxodrómának nevezzük (lásd 8.2. ábra és a következő videó).

  V I D E Ó  

8.1. ábra. A baloldalon a közönséges hengeres csavarvonal, jobbra pedig a kúpos csavarvonal látható. Mindkét görbe érintői konstans szöget zárnak be a tengellyel. Érdekes összevetni a paraméteres egyenleteiket: illetve .

8.2. Tétel. (Lancret) Tekintsünk egy görbét, melynek görbülete és torziója sehol sem tűnik el. A görbe lejtővonal akkor és csakis akkor, ha görbületének és torziójának hányadosa (nullától különböző) állandó.

Bizonyítás. Az egyszerűség kedvéért tegyük föl, hogy az görbe ívhossz szerint parametrizált, az adott vektor pedig egységvektor. Ekkor a lejtővonal definíciója szerint létezik olyan szög, melyre

Ebből ívhossz szerinti deriválással a Frenet-képletek alapján azt kapjuk, hogy

Mivel a görbületfüggvényről feltettük, hogy nem nulla, így . Másrészt szintén a Frenet-képletek miatt , amiből

azaz az is állandó, a binormális vektor is állandó szöget zár be a az adott vektorral. Legyen ez a szög , amiből . Mivel az vektor merőleges a főnormálisra, fölírható az érintő egységvektor és a binormális egységvektor lineáris kombinációjaként:

de a két egységvektor merőlegessége miatt az vektor koordinátái ebben a bázisban csakis és lehet, másrészt a két szögre vagy vagy teljesül. Így

amiből szerint deriválva és a Frenet-képleteket alkalmazva

amiből már következik, hogy , azaz

azaz állandó.

Fordítva, ha feltesszük, hogy állandó, akkor mindig található olyan szög, melyre ez az állandó éppen , vagyis , amiből a Frenet-képletek szerint

Ebből pedig következik, hogy a vektor állandó egységvektor, jelölje . De ekkor , ami igazolja az állítást.

8.2. ábra. A gömbre rajzolt általánosított csavarvonal neve loxodróma. Érintői állandó szöget zárnak be a két pólust összekötő iránnyal.

  V I D E Ó