Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Adott ponthoz és görbéhez rendelt görbék

Adott ponthoz és görbéhez rendelt görbék

Az evolvenshez és az evolutához hasonlóan más görbéket is definiálhatunk úgy, hogy egy adott görbéből indulunk ki, ahhoz kapcsoljuk az új görbét. Ebben az alfejezetben olyan göbréket fogunk vizsgálni, melyek meghatározásához az adott görbe mellett még egy adott pont is szükségeltetik. Ezek a görbék számos alkalmazást nyernek a műszaki életben.

7.7. Definíció. Legyen adott az görbe és egy pont. Bocsássunk fénysugarakat a pontból a görbére, ahonnan azok a fizikai törvénynek megfelelően visszaverődnek. Az így keletkezett egyparaméteres egyenessereg burkolóját (ha van) kausztikus görbének nevezzük.

A definícióban említett egyenesseregnek nem feltétlenül létezik burkolója, például abban a klasszikus esetben sem, ha az adott görbe parabola, az adott pont pedig a fókusza, ekkor ugyanis a visszaverődő fénysugarak közismerten párhuzamosak lesznek.

Más esetekben azonban létezik a burkoló. Például a kör esetében a kausztikus görbe lehet kardiois, amennyiben az adott pont illeszkedik a körre. A kardiois egyenlete

A kör kausztikus görbéje lehet nefroid (vagy vesegörbe), amennyiben a pontot végtelen távolinak képzeljük el (ekkor a fénysugarak párhuzamosak). A nefroid egyenlete

E két kausztikus görbét és annak keletkezését látjuk a 7.4. ábrán, illetve a következő két videón, továbbá a valóságban az 7.5. ábrán.

7.4. ábra. A kör két kausztikus görbéje, a kardiois (balra) és a nefroid.

  V I D E Ó  

  V I D E Ó  

7.5. ábra. A kör kausztikus görbéje a valóságban.

Ezek a görbék úgy is előállnak, hogy egy körön egy másik kört gördítünk végig csúszás nélkül, és a gördülő kör egy pontjának pályáját vizsgáljuk. Ha a gördülő kör sugara megegyezik a fix kör sugarával, akkor kardioist kapunk, ha pedig fele a fix körének, akkor nefroidot.

Érdekességként említjük meg, hogy ha a gördülő kör és a fix kör sugara megegyezik, de nem a kör egy pontját követjük, hanem a körhöz rögzített (azzal együtt forgó) külső vagy belső pontot, akkor az így kapott görbe család neve Pascal féle limaçon. A kardiois tehát egy speciális limaçon.

Egy másik, műszaki szempontból fontos görbe a görbe pedálgörbéje.

7.8. Definíció. Ha adott az görbe és egy pont, akkor állítsunk a pontból merőlegest a görbe minden érintőegyenesére. A merőlegesek és az érintők metszéspontjai alkotják az görbe pontra vonatkoztatott pedálgörbéjét.

Ha a görbe paraméteres egyenlete , valamint , akkor a pedálgörbe egyenlete

Ha a pedálgörbét a pontból kétszeresére nagyítjuk, akkor az görbe ortotomikus görbéjét kapjuk, mely nem más, mint a pontnak a görbe érintőire mint egyenesekre vett tükörképeinek összessége. Belátható, hogy a görbe kausztikus görbéje egyben az ortotomikus görbe evolutája. Így szoros kapcsolat van a kausztikus görbe, az ortotomikus görbe és a pedálgörbe között. A kör pedálgörbéje limaçon (lásd 7.6. ábra és a következő videó).

7.6. ábra. A kör p pontra vonatkozó pedálgörbéje.

  V I D E Ó  

Az ortotomikus görbék fontos alkalmazást nyernek a görbék vizsgálatánál. Sokszor fontos eldöntenünk egy görbéről, hogy görbületi viszonyai hogyan változnak, konvex-e, azaz van-e inflexiós pontja stb. Ez utóbbi kérdést eldönthetjük ortotomikus görbék segítségével is. Amint az előbbi leírásból láttuk, adott görbéhez és adott ponthoz az ortotomikus görbe az érintőre való folytonos tükrözéssel készül el, ahogy az érintő végighalad a görbén, így gondolhatunk rá úgy is, mint a pontból kiinduló fénysugarak visszaverődésének hullámfrontjára.

Amennyiben a kiindulásként megadott görbe nem konvex, akkor ez a hullámfronton is meg fog látszani, amennyiben csúcspontja, önátmetszése keletkezik. Még élesebben látszódik ez akkor, ha az adott pont érintőegyenesre való tükrözése után az érintő és a tükörkép távolságát többször rámérjük a egyenesre. Ennek analitikus kivitelezése a következő: az eredeti ortotomikus görbe egyenlete

Itt az egyenletben szereplő 2-es szorzó a képpont és az adott pont távolságának, valamint a tükörtengely és az adott pont távolságának a hányadosa. Ha ezt a szorzót 2 helyett -ra cseréljük, akkor az így kapott görbét -ortotomikus görbének nevezzük (így az eredetileg definiált ortotomikus görbe lesz az görbe, lásd az 7.7. ábrát). Érvényes a következő tétel.

7.7. ábra. Az ortotomikus görbék konstrukciója

7.9. Tétel. Legyen reguláris síkgörbe, a pont pedig ne illeszkedjen a görbére, sem annak érintőire. Ekkor az görbe pontra vonatkoztatott k-ortotomikus görbéjének szinguláris pontja (csúcspontja) van az paraméterértéknél akkor és csakis akkor, ha az eredeti görbének inflexiós pontja.