Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Evolvens, evoluta

Evolvens, evoluta

A görbékkel kapcsolatban most egy fontos, a görbéhez rendelt görbeseregről, valamint egy fontos burkolóról lesz szó.

7.3. Definíció. Az olyan görbét, mely egy adott síkgörbe valamennyi érintőegyenesét merőlegesen metszi, a síkgörbe evolvensének nevezzük.

A görbének végtelen sok evolvense van, melyek egyparaméteres görbesereget alkotnak, ahol a seregparaméter azt jelzi, hogy az eredeti görbe mely pontjából indítottuk az evolvenst.

Az olyan görbéket, melyek egy görbesereg minden elemét merőlegesen metszik, ortogonális trajektóriának nevezzük. Így a görbe bármely evolvense az adott görbe érintőegyeneseinek (mint görbeseregnek) ortogonális trajektóriája. Az evolvenst lefejtési görbének is nevezik, előállítható ugyanis úgy is, hogy a görbére madzagot fektetünk, majd azt végig feszesen tartva "lefejtjük" a görbéről. Ezt fejezi ki az evolvens következő egyenlete is.

7.4. Tétel. Ha adott az ívhossz szerint parametrizált görbe, akkor pontból induló evlovensének egyenlete

Bizonyítás. Azt kell belátnunk, hogy az görbe érintője minden paraméterértéknél merőleges az görbe megfelelő érintőjére.

De ívhossz szerinti paraméterezésnél , amiből következik, hogy , azaz .

7.2. ábra. Az evoluta a normálissereg burkolójaként jelenik meg.

Ha egy görbének minden pontban megkeressük a görbületi középpontját, akkor ezek a pontok szintén egy görbét alkotnak.

7.5. Definíció. Ha adott az görbe és annak görbületi függvénye, akkor az

görbét az eredeti görbe evolutájának nevezünk (Lásd 7.3. ábra és a következő videó).

7.3. ábra. Az ellipszis evolutája. A csúcspontokat a simulóköröknél ismertetett eljárással szerkesztjük meg.

  V I D E Ó  

7.6. Tétel. Ha az eredeti görbének sem a görbülete, sem annak deriváltja nem tűnik el, akkor az evoluta a görbe normálisaiból (az vektorokkal párhuzamos egyenesekből) álló egyenessereg burkolója.

Bizonyítás. Mivel a görbület középpontok a görbe adott pontbeli normálisain vannak, nyilvánvaló, hogy az egyenessereg minden egyes tagjának és az evolutának létezik közös pontja. A burkolási tulajdonsághoz azt kell belátnunk, hogy ebben a pontban az érintőirány is közös. Az egyenesek érintőiránya az aktuális vektor. Az evolutáé:

ami igazolja az állítást.

Igaz továbbá, hogy az görbe evolvensének evolutája éppen az eredeti görbe.