Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Négy csúcspont tétele

Négy csúcspont tétele

Szintén klasszikus globális eredmény a következő tétel, mely az ellipszis csúcspontjaihoz (tengelyvégpontjaihoz) hasonló pontok számát adja meg.

6.2. Definíció. Csúcspontnak nevezzük a síkgörbe azon pontját, ahol a görbületnek lokális szélsőrétéke van.

Korábbi számításaink alapján tudjuk, hogy az ellipszis nagytengelyének végpontjaiban a görbületnek lokális maximuma, a kistengelyének végpontjaiban pedig lokális minimuma van (a simulókörök sugara ezekben a pontokban a legkisebb illetve legnagyobb). Az alábbi eredmény szerint ennél kevesebb csúcspontja nem is lehet az ilyen görbéknek.

6.3. Tétel. Egyszerű, zárt, konvex görbére, melynek görbületfüggvénye folytonosan differenciálható, igaz, hogy a csúcspontjainak száma legalább négy.

6.2. ábra. Minden egyszerű, zárt, konvex görbének legalább négy csúcspontja van, ahol a görbület szélsőértéket vesz föl

Bizonyítás. A bizonyításhoz felhasználunk egy eredményt, mely szerint ha az görbe a [0,a] intervallumon értelmezett, ívhossz szerint paraméterezett, egyszerű, zárt, konvex görbe, melynek görbületfüggvénye , akkor bármilyen számokra igaz, hogy

Mivel a görbületfüggvény folytonos, ezért a [0,a] zárt értelmezési tartományon, mint minden folytonos függvény, felveszi szélsőértékeit. Ez azt jelenti, hogy két csúcspontja biztosan van a görbének. Tegyük föl indirekte, hogy nincs több csúcspont.

Vizsgáljuk meg az e két ponton átmenő egyenest, legyen ez egyenletű. Az függvény csak e két pontban vált előjelet, mert az egyenesbe helyettesítve a görbe pontjait végig megegyező előjelet kapunk, amíg az egyenes egyik oldalán tartózkodunk. A függvény szintén csak e két pontban vált előjelet, mert a két csúcspont miatt kétszer lesz . Ebből viszont az következik, hogy a két függvény szorzata a csúcspontokban nem vált előjelet. Ha tehát csak két csúcspont létezne, akkor a fenti integrálban az integrandus (a két függvény szorzata) előjele mindehol ugyanaz volna, ezért az integrál nem tűnhet el. Ez ellentmondás azzal, hogy az integrál egyenlő nullával.

Mindebből az is következik, hogy a függvény legalább négyszer vált előjelet (ha háromszor váltana, akkor körbeérve a görbén ellentétes előjellel érkeznénk a kiinduló ponthoz) ami éppen a kérdéses állítással ekvivalens.

Érdekességként említjük meg, hogy a fenti tétel érvényes marad egyszerű, zárt, de nem feltétlenül konvex görbékre is, azonban a bizonyítás sokkal nehezebb (holott szemléletesen még természetesebb az állítás).

Az eredeti állításnak bizonyos értelemben a megfordítása is igaz, Belátható, hogy ha adott egy nemnegatív, folytonosan differenciálható függvény úgy, hogy 0-nál és -nál a függvény és vele együtt a deriváltjai is megegyeznek, valamint a függvénynek az értelmezési tartományon legalább két helyen maximuma és két helyen minimuma van, akkor létezik olyan egyszerű, zárt görbe, melynek az adott függvény éppen a görbületfüggvénye.