Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

6. fejezet - Globális tulajdonságok

6. fejezet - Globális tulajdonságok

Az eddigi differenciálgeometriai fejezetekben a görbéknek szinte kizárólag azon tulajdonságait vizsgáltuk, melyek egy pontban, vagy annak elegendően kis környezetében érvényesek. Köszönhető ez főképp a vizsgálat módszerének, a differenciálszámításnak, ami pontbeli eljárás. Ebben a fejezetben néhány olyan tulajdnoságot, eredményt ismertetünk, melyek a görbe egészére vonatkoznak, azaz globális eredmények.

Azonos kerületű görbék

Az egyik legrégibb globális eredmény a síkgörbékkel kapcsolatban annak megválaszolása, hogy azonos kerületű egyszerű (azaz önátmetszés nélküli) zárt görbék közül melyik határolja a legnagyobb területet. Már a görögök is vizsgálták a problémát, sőt az eredményt is ismerték, nevezetesen azt, hogy a kör a keresett görbe. A tétel egzakt bizonyítása azonban sokkal később született és Weierstrass nevéhez fűződik.

6.1. Tétel. Legyen adott egy egyszerű, zárt görbe, melynek kerülete (ívhossza) , az átala határolt terület pedig . Ekkor

és az egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha a görbe kör.

Bizonyítás. Legyen az egyszerű, zárt görbe ívhossz paraméter szerinti felírása. Tekintsünk egy tetszőleges irányt és vegyük a görbe ilyen irányú két érintőjét, melyek egymástól a lehető legtávolabb vannak, legyenek ezek az egyenesek és . Nem megy az általánosáság rovására (paramétertranszformációval elérhető), ha feltesszük, hogy az egyenes a görbét az pontban érinti. A görbe tehát a két egyenes közötti sávban van, melybe berajzolunk egy kört is úgy, hogy és érintse. A kör sugara legyen , tehát a két egyenes távolsága . Parametrizáljuk úgy a kört, hogy az koordinátafüggvénye megegyezzen a görbe koordinátafüggvényével: .

6.1. ábra. A 6.1. tétel bizonyítása

Felhasználjuk azt, hogy az egyszerű, zárt síkgörbék által határolt területet felírhatjuk a koordinátafüggvények segítségével:

Ugyanez a körre nézve

Ebből

mivel a körben a sugár éppen az és koordinátafüggvények négyzetösszegének négyzetgyöke, azaz az utolsó integrandus éppen a konstans .

Tudjuk, hogy két pozitív szám mértani közepe kisebb vagy egyenlő a számtani közepüknél, így

Így négyzetre emelés után

és ezt akartuk bizonyítani. Ha feltesszük, hogy az egyenlőtlenségben az egyenlőség érvényes, akkor teljesül. Így és nem függ az egyenes irányának megválasztásától. Ez pedig azt jelenti, hogy a görbe kör.

Megjegyezzük, hogy a fenti tétel érvényes akkor is, ha görbeként megengedünk zárt, egyszerű, folytonos ívekből összefűzött alakzatot is.