Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

Frenet-képletek

Frenet-képletek

Korábban már említettük a Frenet-képleteket, amelyek a kísérő háromél vektorainak ívhossz szerinti deriváltjait fejezik ki a kísérő háromél vektorainak segítségével.

Látható, hogy a deriváltak koefficiensei a kísérő háromél bázisában egy ferdén szimmetrikus négyzetes mátrixot alkotnak, amelynek a mellékátlója is eltűnik. Az el nem tűnő koefficiensek között csak a görbület és torzió szerepel. Az első és utolsó egyenletet már korábban beláttuk, a középső egyenlet szorul még igazolásra:

Végül néhány tételt említünk, melyek azt mutatják, hogy a görbület és a torzió nagyon erősen meghatározzák a görbét, illetve annak viselkedését.

5.14. Tétel. Ha két görbének a görbülete és a torziója pontonként megegyezik és a görbületük sehol sem tűnik el, akkor a két görbe csak mozgásban tér el egymástól.

Bizonyítás. Arra az esetre bizonyítjuk az állítást, ha mindkét görbe ívhossz szerinti paraméterezésű. Legyen a közös görbületfüggvény , a torziófüggvény pedig . Mozgassuk el a görbe kezdőpontját az kezdőpontjába úgy, hogy az ottani kísérő háromél vektorai is egybeessenek, azaz

Konstruáljuk meg a bizonyítás szemponjátból hasznos függvényt. Ennek deriváltja a Frenet-képletek miatt

azaz az függvény konstans. Az pontban , mert a két háromél egybeesik, így minden -re. A Frenet háromél vektorai egységvektorok, tehát ezek skaláris szorzatainak összege csak úgy lehet egyenlő 3-mal, ha a megfelelő egységvektorok minden pontban egybeesnek. De -ből következik, ebből pedig az, hogy az szintén állandó vektor minden -re. Tudjuk azonban, hogy , amiből így minden -re következik.

Egy görbe görbülete és torziója a görbének két invariánsa, azaz mozgástól eltekintve nemcsak a görbét, hanem annak minden további invariánsát is meghatározzák. A görbület és a torzió a görbe invariáns bázisát alkotja.

5.15. Tétel. Ha folytonos, pozitív, a pedig folytonos függvény egy I nyílt intervallumon, akkor egyértelműen létezik az I-n értelmezett olyan görbe, hogy egy előre adott -lal, az ottani kísérő hároméle egy előre adott ortonormált hároméllel egyenlő és amely görbének a görbülete és torziója az adott és .

A egyenleteket a görbe természetes egyenleteinek nevezzük.