Ugrás a tartalomhoz

Topológia és differenciálgeometria

Hoffmann Miklós

Kempelen Farkas Hallgatói Információs Központ

A torzió

A torzió

Egy síkgörbe binormálisai egymással párhuzamos vektorok, azaz irányuk változatlan. A binormálisok irányváltozása, illetve ezen irányváltozás mértéke így a síkgörbétől való eltérést jellemzi.

Legyen az ívhosszparaméterre vonatkoztatott, háromszor folytonosan differenciálható görbe. Legyen a pontban a binormális , a pontban pedig . Bevezetjük a következő jelöléseket: és (lásd 5.7. ábra).

5.7. ábra. A torzió értelmezése

5.8. Definíció. A

határértéket a görbe -beli torziójának nevezzük.

A torzió kiszámítása a definíció alapján nehézségekbe ütközhet. A számolást ezért két klasszikus képlet alapján végezzük, melyeknek bizonyításától itt eltekintünk.

5.9. Tétel. A definícióban szereplő határérték létezik, értéke:

5.10. Tétel. .

Bizonyítás. Először megmutatjuk, hogy . Ehhez elegendő belátnunk, hogy és . A differenciálásából

azaz .A differenciálásából , azaz . A és vektorok közötti konstans szorzót az alapján találhatjuk meg, hogy a

határértékét vizsgáljuk. A miatt a és határértéke megegyezik, így az állítás igaz. □

A torzió eltűnése a síkgörbéket jellemzi. Állandó, nem nulla torziójú térgörbe a hengeres csavarvonal.

5.11. Példa. Adjuk meg az egyenes görbületét és torzióját! A deriválásokat elvégezve:

A görbület meghatározásakor miatt

A torzió esetén miatt

5.12. Példa. Adjuk meg az kör görbületét és torzióját! A deriválásokat elvégezve:

A görbület meghatározásához és

miatt . A kapott eredményeket felhasználva . A torzió esetén

ugyanis a mátrix első és utolsó sora lineárisan függő, így emiatt .

5.13. Példa. Adjuk meg az hengeres csavarvonal görbületét és torzióját! A deriválásokat elvégezve:

Ezek felhasználásával ,

amely hossza

A görbület ezek alapján

amely konstans. A torzió esetén

ezt felhasználva

amely szintén konstans. A hengeres csavarvonal az egyetlen olyan térgörbe, amelynek görbülete és torziója konstans.